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逻辑与

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文氏图 
  
    
      
        A
        ∧
        B
      
    
    {\displaystyle A\land B}
文氏图

逻辑数学中,逻辑合取逻辑与是一个二元逻辑运算符。如果其两个变量的真值都为“真”,其结果为“真”,否则其结果为“假”。

相关名称

基本符号:
英文名:logical conjunction
中文名:逻辑与,合取交集按位与,逻辑乘,与门,...
命题逻辑中的二元连接词合取,是一个两元算子,集合论中的交集算子,二进制中的逻辑乘算子,按位与(Bitwise AND),逻辑门中的“与”门(AND gate),编程语言中的&或and运算符等等。

基本定义

逻辑与(logical conjunction)是两个逻辑变量的一种运算,经常是两个命题的运算。它满足:当且仅当其两个变量的真值都为真时,其结果为真。
逻辑与是个二元算子,运算结果取值为真的条件是,当且仅当两个命题的取值都真时。命题是取值要么是真要么是假的二值语句,没有第三种取值,或说值域为{真,假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的语句是猜想;既真又假,既不真又不假的语句是悖论。
复合命题,读作A合取B,在GCT逻辑中,也叫联言命题。也有称为合取命题的。

真值表定义

A与B的真值表(也写作AB(逻辑学),A && B(计算机科学),或AB(电子学))。

真值表:

输入 输出

推理规则

合成与分解规则

合取引入规则

合取引入规则(∧+)(conjunction introduction rule)或联言推理的合成式,是经典逻辑中简单且有效的论证形式。这个论证形式有两个前提,AB,可以直观地推出他们的合取。

其形式如下:

A,
B.
因此AB.

形式化为:

下面的例子是满足联言推理的合成式的论证:

小橘子是正妹。
小橘子是车神。
因此小橘子是正妹也是车神。

另一个例子如下:

1小于2
6大于5
因此,1小于2,而且6大于5。

还有一个例子如下:

有一些PSPACE问题不是NL问题
有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题
因此有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题,而且有一些PSPACE问题不是NL问题

合取消去规则

合取消去规则(∧-)(Conjunction elimination rule)或联言推理的分解式,是另一个在经典逻辑中简单且有效的论证形式。从任何合取式中都可以直观地推论出两个前提中的任意一个。

其形式如下:

AB
因此A

...或者,

AB.
因此B.

逻辑运算符描述为,

形式化为:

或者,

例如:

有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题,而且有一些PSPACE问题不是NL问题
因此有一些PSPACE问题不是NL问题

或者

有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题,而且有一些PSPACE问题不是NL问题
因此有一些EXPSPACE问题不是PSPACE问题

另一个例子如下:

1小于2,而且6大于5。
因此1小于2。

或者

1小于2,而且6大于5。
因此6大于5。

还有一个例子如下:

小橘子是正妹也是车神。
因此小橘子是正妹。

或者

小橘子是正妹也是车神。
因此小橘子是车神。

性质

逻辑与满足以下性质:

  • 结合律:
  • 交换律:
  • 分配律:
  • 幂等律:
  • 单调性:
  • 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。
  • 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

如果用二进制来表达真(1)和假(0),逻辑与运算与算术乘法运算一致。

计算机科学中的运用

位运算

逻辑与常在位运算中使用,比如:

  • 0 and 0 = 0
  • 0 and 1 = 0
  • 1 and 0 = 0
  • 1 and 1 = 1
  • 1100 and 1010 = 1000

编程中的使用

在高等计算机编程中,逻辑合取“与”通常由内置算符and或&号来表达。很多编程语言还提供与逻辑与相应的短路求值控制结构。

布尔“与”也在SQL的运算符中使用。有些数据库区分大小写,需要"AND"符号。

在计算机科学中,AND运算符可以用来构造位屏蔽,以选择二进制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000用来取二进制序列的第五位。

交集运算

集合论中的运算是用逻辑与来定义的:xAB当且仅当(xA) ∧ (xB)。因此逻辑与有很多与交集运算相同的性质,诸如结合律,交换律,分配律,及德·摩根定律

参见

相关网页

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