达布定理
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在实分析中,达布定理(英语:Darboux's theorem)得名于让·加斯东·达布。达布定理说明所有的实导函数(某个实值函数的导数)都具有介值性质:实导函数对任意区间的值域仍是区间。即是说,若f为可导函数,则对任意区间I,f′(I) 仍为区间。
当函数 f 是一阶连续可导函数(C1)时,由介值定理,达布定理显然成立。当导函数 f′ 不连续时,达布定理说明 f′ 仍具有介值性质。
19世纪时,大部分数学家认为介值定理已经可以刻画出连续函数。但在1875年,让·加斯东·达布证明这个想法是错误的,因为连续函数的导函数仍然具有介值性质,但不一定是连续函数。一个很常用的反例是函数:
其导数在处并不连续。
设为闭区间上的实值可导函数,那么对介于和之间的任意,存在属于使得。
不失一般性,我们可假设。又设,则 。只需找到在上的一个零点即可。
由于是上的连续函数,由极值定理,在上达到极大值。由于,极大值不在处取到。同理,由于,极大值也不在b处取到。设为取到极大值的点,这时,。于是定理得证。
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