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量子态

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设定施特恩-格拉赫实验仪器的磁场方向为z-轴,入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束,每一道银原子束代表一种量子态,上旋
  
    
      
        
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    {\displaystyle \left\vert \uparrow \right\rangle }
  
或下旋
  
    
      
        
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          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\vert \downarrow \right\rangle }
  
。[1]:1-4
设定施特恩-格拉赫实验仪器的磁场方向为z-轴,入射的银原子束可以被分裂成两道银原子束,每一道银原子束代表一种量子态,上旋或下旋[1]:1-4

量子力学里,量子态(英语:quantum state)指的是量子系统的状态。态向量可以用来抽象地表示量子态。[2]:93-96采用狄拉克标记,态向量表示为右矢;其中,在符号内部的希腊字母可以是任何符号,字母,数字,或单字。例如,在计算氢原子能谱时,能级与主量子数有关,所以,每个量子态的态向量可以表示为

一般而言,量子态可以是纯态混合态。上述案例是纯态。混合态是由很多纯态组成的概率混合。不同的组合可能会组成同样的混合态。当量子态是混合态时,可以用密度矩阵做数学描述,这密度矩阵实际给出的是概率,不是密度。纯态也可以用密度矩阵表示。

哥本哈根诠释以操作定义的方法对量子态做定义:量子态可以从一系列制备程序来辨认,即这程序所制成的量子系统拥有这量子态。[3]:15-16例如,使用z-轴方向的施特恩-格拉赫实验仪器,如右图所示,可以将入射的银原子束,依照自旋的z-分量分裂成两道,一道的为上旋,量子态为,另一道的为下旋,量子态为,这样,可以制备成量子态为的银原子束,或量子态为的银原子束。[1]:1-4银原子自旋态向量存在于二维希尔伯特空间。对于这纯态案例,相关的态向量是二维复值向量,长度为1:

在测量一个量子系统之前,量子理论通常只给出测量结果的概率分布,这概率分布的形式完全由量子态、相关的可观察量来决定。对于纯态或混合态,都可以从密度矩阵计算出这概率分布。

另外,还有很多种不同的量子力学诠释。根据实在论诠释,一个量子系统的量子态完整描述了这个量子系统。量子态囊括了所有关于这系统的描述。实证诠释阐明,量子态只与对于量子系统做观察所得到的实验数据有关。[3]:15按照系综诠释,量子态代表一个系综的在同样状况下制备而成的量子系统,它不适用于单独量子系统。[3]:220

概述

在不同量子态氢原子的电子概率密度。
在不同量子态氢原子的电子概率密度

经典力学的状态

设想在某经典系统里,有一个粒子移动于一维空间,在时间,粒子的位置动量。这些初始条件设定了这系统在时间的状态。经典力学具有决定性,若知道粒子的初始条件与作用于粒子的外力,则可决定粒子的运动行为。

在实验方面,制备经典系统在时间的状态。稍后,在时间,若想知道这系统的物理状态,可以测量这粒子的运动参数,即位置与动量。其它物理量,像加速度动能等等,都是这两个物理量的函数

在理论方面,假设经典系统在的状态是,则应用牛顿运动定律,即可计算出这系统在任何时间的可观察量数值。这些数值应该符合实验测量的结果。标记这些数值为。例如,假设粒子以等速移动,则

其中,是粒子质量。

量子力学的量子态

实验的过程可以按照先后顺序细分为制备与测量两个步骤。在统计实验(statistical experiment)里,虽然以同样的方法制备多个物理系统,然后以同样的方法进行测量,仍旧不能可靠地获得出同样的结果,但是,假若经过很多次重复地制备与测量,则会发觉,同样结果的出现频率会收敛至某固定值。量子力学也具有类似特性,虽然每一次测量能够很准确地获得粒子运动地数据,但不能准确预测对于可观察量做单次测量而获得的结果,只能够给出各种可能获得的结果与获得这结果的概率分布,这是因为制备步骤必须遵守不确定性原理[4]:44-45

在量子系统里,量子态可以从一系列制备程序来辨认,即这程序所制成的量子系统拥有这量子态。例如,使用z-轴方向的施特恩-格拉赫实验仪器,可以将入射的银原子束,依照自旋的z-分量分裂成两道,一道的为上旋,量子态为,另一道的为下旋,量子态为。又例如,假若等待足够长久时间,就可以使得量子系统衰变至基态,前提是从激发态只能朝着无穷远发射出能量,永远不会反射回来。这样,就可以制备出基态。[4]:206-209再照射适当频率的镭射,则可制备出指定的激发态。

在实验方面,量子力学显露出一种内禀统计行为。同样的一个实验重复地做很多次,每次实验的测量结果通常不会一样,只有从很多次的实验结果计算出来的统计平均值,才是可克隆的数值。假设,在每次实验里,在时间,量子系统的量子态为。稍后,在时间,测量这粒子在各个量子系统的可观察量,则能获得在时间这些可观察量的统计平均值。特别注意,对于这两种可观察量并不是一起进行测量,而是独立分开进行测量。更详细地说,重复地做很多次同样的实验,测量可观察量。由于这可观察量是随机变量,所以无法可靠地克隆同样结果。但是,假若重复次数足够多(概念而言,无穷多),则能获得在时间这可观察量的统计平均值。类似地,重复地做很多次同样的实验,测量可观察量,也能获得在时间这可观察量的统计平均值。

在理论方面,假设量子系统在的量子态是,应用埃伦费斯特定理,可以计算出可观察量在任何时间期望值。这期望值应该完全符合实验获得的统计平均值。标记这些期望值为。假设没有任何外力作用于自由移动的粒子,则

位置的期望值与动量的期望值表现出类似经典力学的运动行为。在量子力学里,量子态可以预测所有测量可观察量的实验统计结果。

薛定谔绘景与海森堡绘景

量子系统的每一种可观察量都有其对应的量子算符。将这量子算符作用于量子态,可以诠释为测量其量子系统的可观察量。在前一节量子力学论述里,量子算符被设定为与时间有关,而量子态则在初始时间就被固定为,与时间无关。这种理论方法称为海森堡绘景。另一种称为薛定谔绘景的理论方法设定量子算符与时间无关,又设定量子态与时间有关。在概念方面或在数学方面,这两种绘景等价,推导出的结果一样。大多数初级量子力学教科书采用的是薛定谔绘景,通过生动活泼的量子态,学生可以迅速地了解量子系统如何随着时间演变。海森堡绘景比较适用于研究一些像对称性守恒定律的基础论题领域,例如量子场论,或者研究超大自由度系统的学术,例如统计力学[5]

量子力学形式论

量子物理通常使用线性代数来做数学表述。每一种量子系统都有其对应的希尔伯特空间,其量子态都可以用对应的希尔伯特空间里的向量来表现,这向量称为态向量。假若,某态向量是另外一个态向量的标量倍数,则这两个态向量都对应于同样的量子态。因此,态向量的范数不具有物理意义,只有方向具有物理意义。

假若将态向量归一化,所有态向量的范数都等于1,则所有态向量的集合是希尔伯特空间的单位球。假若,两个归一化态向量的唯一不同之处是它们的相位因子,则这两个态向量代表同样的量子态。

狄拉克标记

在量子力学里,数学运算时常用到线性算符内积对偶空间厄米共轭等概念。为了让运算更加简易、更加抽象,为了让使用者不需要选择表现空间,保罗·狄拉克发明了狄拉克标记。这种标记法能够精准地表示各种各样的量子态与其相关运算,简略表述如下:

  • 向量的标记形式为;其中可以是任何符号,字母,数字,或单字。这与一般的数学标记形式显然地不同;通常,向量是以粗体字母,或者在上方加了一个矢号的字母来标记。
  • 称向量为“右矢”。
  • 对于每一个右矢,都独特地存在一个对应的左矢,左矢与右矢指的是同一个量子态。在数学里,左矢与右矢分别是彼此的厄米共轭,左矢属于另外一个希尔伯特空间,称为对偶空间。假设右矢的维度为有限值,则可以将右矢写为竖排,左矢写为横排;取右矢的厄米共轭(即取转置运算加上共轭复数运算),就可以得到左矢。
  • 左矢与右矢的内积,可以写为。这内积的物理意义为量子态处于量子态概率幅[1]:50

量子态的测量

量子理论只能从量子态计算出可观察量的概率分布,因此只能预测可观察量的概率分布,除了一些特别案例之外,不能准确预测(概率小于1)对可观察量做测量获得的数值,这反映出经典物理与量子物理之间的重要差异,在经典力学里,测量的结果本质上是决定性的,而不是概率性的。尽管如此,在量子力学里,对于任意可观察量,必定存在一组本征态。假设量子系统的量子态是其中任意本征态,则测量这量子系统的可观察量得到的数值必定等于其对应的本征值,量子力学可以准确预测这本征值

反过来说,假设给定了量子系统所有可观察量的概率分布,则可决定量子系统的量子态。[4]:46-47但是,决定量子态,并不一定需要所有可观察量的概率分布;大多数时候,只需要给定某些可观察量的概率分布,就可以决定量子态,其它可观察量的概率分布,可以从量子态计算出来。

假设,某量子系统的可观察量标记为,其对应的量子算符,可能有很多不同的本征值与对应的本征态,这些本征态,形成了具有正交归一性基底[2]:96-99

其中,克罗内克函数

描述这量子系统的量子态,可以用这基底表示为

其中,是复系数,是量子态处于量子态概率幅[1]:50

重复地做很多次同样的实验,在每次实验里,量子系统的量子态都设定为,则对于每一个量子系统的可观察量做测量,可能得到的结果是各种本征态的本征值,获得这些不同结果的次数具有概率性,可以表达为概率分布,结果为的概率是

假设测量的结果是本征值,则可以推断测量后的量子态是本征态。假若立刻再测量可观察量,由于量子态仍旧是本征态,所得到的测量值是本征值的概率为1,量子态是“确定态”。

设想另一种可观察量,其对应的算符与算符对易关系

称这两种可观察量为不相容可观察量。假若立刻再对本征态测量可观察量,则又会得到统计性的答案。

单粒子系统的基底量子态

离散案例

假设,某量子系统的可观察量标记为,其对应的量子算符,可能有很多不同的本征值与对应的本征态,这些本征态,形成了具有正交归一性基底[2]:96-99描述这量子系统的量子态,可以用这基底的本征态表示为

其中,是复系数,是量子态处于量子态概率幅[1]:50

的内积:

因此,可以表示为

定义投影算符

投影算符作用于量子态,投射出平行于的部分:

量子态是所有投影部分的总和:

由于量子态可以是任意量子态,因此,基底量子态具有闭包性,或完备性

其中,在公式最右边的代表单位算符。

由于这基底满足正交归一性

连续案例

位置是一种连续的可观察量,具有连续的本征值谱:

其中,是对应于可观察量的算符,是本征值为的连续本征态。

对于这连续本征态所组成的基底,必须将前一节提到的离散和,加以修改为积分:

又必须将克罗内克函数改变为狄拉克δ函数

由于量子态可以是任意量子态,因此,连续基底量子态具有闭包性,或完备性

由于这基底满足正交归一性

从这方程,可以推论是粒子处于位置之间的概率。

内积就是波动力学波函数

态叠加原理

双缝实验草图,从光源
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  
散发出来的单色光,照射在一座有两条狭缝
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  
与
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  
的不透明挡墙
  
    
      
        S
        2
      
    
    {\displaystyle S2}
  
。在挡墙的后面,设立了一个照相底片或某种侦测屏障
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
,用来纪录到达
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的任何位置
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
  
的光波数据。最右边黑白相间的条纹,显示出光波在侦测屏障
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  
的干涉图样
双缝实验草图,从光源散发出来的单色光,照射在一座有两条狭缝的不透明挡墙。在挡墙的后面,设立了一个照相底片或某种侦测屏障,用来纪录到达的任何位置光波数据。最右边黑白相间的条纹,显示出光波在侦测屏障的干涉图样

假设某量子系统的量子态可能是这两个不同的归一化量子态,则这量子系统也可能处于它们线性叠加而成的量子态(可能尚未归一化)。假设为实数,则虽然量子态对应于同样的量子态,他们并无法互相替换。例如,是两个不同的量子态。但是,对应于同一个量子态。因此可以这样说,整体的相位因子并不具有物理意义,但相对的相位因子具有重要的物理意义。

例如,在双缝实验里,光子的量子态是两个不同量子态的叠加。其中一个量子态是通过狭缝。另外一个量子态是通过狭缝。光子抵达侦测屏障的位置,这位置离开两条狭缝的距离之差值,与两个量子态的相对相位有关。由于这相对相位,在侦测屏障的某些位置,会造成相长干涉,在另外一些位置,会造成相消干涉。

再举一个例子,拉比振动,可以显示出相对相位在量子态叠加中的重要性。这是一个双态系统,两个本征态的本征能级不一样。那么,因为态叠加的相对相位随着时间而改变,叠加后的量子态会反复不停地振动于两个本征态。

参阅

注释

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Laloe, Franck, Do We Really Understand Quantum Mechanics, Cambridge University Press, 2012, ISBN 978-1-107-02501-1 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Ballentine, Leslie. Quantum Mechanics: A Modern Development 2nd, illustrated, reprint. World Scientific. 1998. ISBN 9789810241056. 
  5. ^ Gottfried, Kurt; Yan, Tung-Mow. Quantum Mechanics: Fundamentals 2nd, illustrated. Springer. 2003: pp. 65. ISBN 9780387955766. 
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