量子力学
物理學分支處理普朗克常數量級的現象 / 维基百科,自由的 encyclopedia
量子力学(英语:Quantum mechanics)是物理学的分支学科。它描述原子尺度及原子尺度以下的自然行为[2]:1.1。 它是所有量子物理学的基础,包括量子化学、量子场论、量子技术、和量子信息科学。
量子力学与相对论一起被认为是现代物理学的两大基本支柱。19世纪末,人们发现旧有的经典理论并没有办法解释微观系统,于是经由物理学家的努力,在20世纪初创立量子力学,解释了这些现象。量子力学从根本上改变人类对物质结构及其相互作用的理解。除了透过广义相对论描写的引力外,迄今所有基本相互作用均可以在量子力学的框架内描述(量子场论)。
量子理论的重要应用包括宇宙学、量子化学、量子光学、量子计算、超导磁体、发光二极管、镭射器、晶体管和半导体如微处理器等。
爱因斯坦可能是在科学文献中最先给出术语“量子力学”的物理学者。[3]:86[a]
量子力学逐渐从理论中兴起,用来解释与经典物理学不相符的观测结果,例如马克斯·普朗克在1900年解决黑体辐射问题,以及阿尔伯特·爱因斯坦1905年论文中能量与频率的对应关系,该论文解释了光电效应影响。 这些理解微观现象的早期尝试,现在被称为“旧量子论”,导致尼尔斯·玻尔、欧文·薛定谔、维尔纳·海森堡、马克斯·玻恩、保罗·狄拉克等人在1920年代中期全面发展了量子力学。 现代理论是用各种专门发展的数学形式体系来表达的。 其中之一,称为波函数的数学实体以概率幅的形式提供有关粒子能量、动量和其他物理特性的测量结果的信息。
理想黑体可以吸收所有照射到它表面的电磁辐射,并将这些辐射转化为热辐射,其光谱特征仅与该黑体的温度有关,与黑体的材质无关。从经典物理学出发推导出的维恩定律在低频区域与实验数据不相符,而在高频区域,从经典物理学的能量均分定理推导出瑞利-金斯定律又与实验数据不相符,在辐射频率趋向无穷大时,能量也会变得无穷大,这结果被称作“紫外灾变”。然而在那时,普朗克并未注意到紫外灾变的严重性。
1900年12月14日,后来被定为量子力学的诞辰[4][查证请求],马克斯·普朗克在柏林科学院发表报告,通过将维恩定律加以改良,又将玻尔兹曼熵公式重新诠释,他得出了一个与实验数据完全吻合的普朗克公式来描述黑体辐射,但是在诠释这个公式时,他将在物体里发射与吸收辐射的原子视为微小的量子谐振子,并且假设这些量子谐振子的能量不是连续的,而是离散的数值,并且单独量子谐振子吸收和发射的辐射能是量子化的。[5]:第2章[3]:58-66[6]:364-372
海因里希·赫兹于1887年实验发现,如果照射紫外光于金属表面,则电子会从金属表面被发射出来,他因此发现了光电效应。1905年,阿尔伯特·爱因斯坦提出了光量子的理论来解释这个现象。他认为,光束是由一群离散的光量子所组成,而不是连续性波动。这些光量子现今被称为光子,其能量为
爱因斯坦大胆地预言,假若光子的频率高于金属的极限频率,则这光子可以给予足够能量来使得金属表面的一个电子逃逸,造成光电效应。电子获得的能量中,一部分被用来将金属中的电子射出,这部分能量叫逸出功,(用表示),另一部分成为了逃逸电子的动能:
这里 是电子的质量, 是其速度。
假若光的频率低于金属的极限频率,那么它无法使得电子获得足够的逸出功。这时,不论辐照度有多大,照射时间有多长,都不会发生光电效应。而当入射光的频率高于极限频率时,即使光不够强,当它射到金属表面时也会观察到光电子发射。罗伯特·密立根后来的实验证明这些理论与预言属实。
爱因斯坦将普朗克的量子理论加以延伸扩展,他提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的,而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论,他得以解释光电效应。[7]:1060-1063[3]:67-68
20世纪初,卢瑟福模型被公认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子,像行星围绕太阳运转一样,围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。
但是这个模型有两个问题无法解决。首先,按照经典电磁学,这个模型不稳定,由于电子不断地在它的运转过程中被加速,它应该会通过发射电磁波丧失能量,这样它很快就会坠入原子核。其次,实验结果显示,原子的发射光谱是由一系列离散的发射线组成,比如氢原子的发射光谱是由一个紫外线系列(来曼系)、一个可见光系列(巴耳麦系)和其它的红外线系列组成;而按照经典理论原子的发射谱应该是连续的。
1913年,尼尔斯·玻尔提出了玻尔模型,这个模型引入量子化的概念来解释原子结构和光谱线。玻尔认为,电子只能在对应某些特定能量值的轨道上运动。假如一个电子,从一个能量比较高的轨道(),跃迁到一个能量比较低的轨道()上时,它发射的光的频率为
反之,通过吸收同样频率的光子,电子可以从低能的轨道,跃迁到高能的轨道上。
玻尔模型可以解释氢原子的结构。改善的玻尔模型,还可以解释类氢原子的结构,即 He+, Li2+, Be3+ 等。但它还不够完善,仍然无法准确地解释其它原子的物理现象。[3]:53-57[9]:24-29
1924年,路易·德布罗意发表博士论文提出,粒子拥有波动性,其波长与动量成反比,以方程表示为[12]
- 。
这理论称为德布罗意假说,又称为物质波假说。这意味着电子不但具有粒子性,还具有波动性。
1927年,克林顿·戴维森与雷斯特·革末做实验将低能量电子入射于镍晶体,然后测量对于每一个角度的散射强度。从分析实验数据,他们发现,假设加速电势为5.4eV,则在50°之处会出现强劲反射,符合威廉·布拉格于1913年所提出的 X射线衍射性质。这惊人的结果证实电子是一种物质波,也证实了物质波假说。这实验就是著名的戴维森-革末实验。[9]:64-68
电子的双缝实验可以非常生动地展示出多种不同的量子力学现象。[13]如右图所示,
- 打在屏幕上的电子是点状的,这个现象与一般感受到的点状的粒子相同。[b]
- 电子打在屏幕上的位置,有一定的分布概率,随时间可以看出双缝衍射所特有的条纹图像。假如一个光缝被关闭的话,所形成的图像是单缝特有的波的分布概率。
在图中的实验里,电子源的强度非常低,所发射出的电子与电子之间的距离约为150km,任意两个电子同时存在于电子发射器与探测屏之间的概率微乎其微。显然可以推断,单独电子同时通过了两条狭缝,自己与自己发生干涉,从而出现这个干涉图样。对于经典物理学来说,这个解释非常奇怪。从量子力学的角度来看,电子的分布概率可以用两个分别通过两条狭缝的量子态叠加在一起来解释。这个实验非常具有信服力地展示出电子的波动性。[11]
在二十世纪二十年代,出现了两种量子物理的理论,即维尔纳·海森堡的矩阵力学和埃尔温·薛定谔的波动力学。
海森堡主张,只有在实验里能够观察到的物理量(可观察量),才具有物理意义,才可以用理论描述其物理行为,例如,不能直接观察到电子运动于原子里的位置与周期。因此,他着重于研究电子跃迁时所发射光波的离散频率和辐照度,这些是可观察量。但是,他无法实际应用这点子于氢原子问题,因为这问题太过复杂,他只能改应用这点子于比较简单,但也比较不实际的问题。经过一番努力,他计算出谐振子问题的能谱与零点能量,符合分子光谱学的结果。另外,在海森堡理论中,系统的哈密顿量是位置和动量的函数,但它们不再具有经典力学中的定义,而是由二阶(代表着过程的初态和终态)傅里叶系数的矩阵给出。海森堡还发现,这些矩阵互不对易。这些论述后来发展成为矩阵力学。[3]:161-163
从德布罗意论文的相对论性理论,薛定谔推导出一种波动方程,称为薛定谔方程;用这方程可以计算出氢原子的谱线,得到与玻尔模型完全相同的答案。波动力学的基础方程就是薛定谔方程[3]:163-164
薛定谔率先于1926年证明了这两种理论的等价性。稍后,卡尔·埃卡特(英语:Carl Eckart)和沃尔夫冈·泡利也给出类似证明,[3]:166约翰·冯·诺伊曼严格地证明了波动力学和矩阵力学的等价性。[14]
整个量子力学的数学理论可以建立于五个基础公设(postulate)。这些公设不能被严格推导出来,而是从实验结果仔细分析归纳总结而得到的。从这五个公设,可以推导出整个量子力学。假若量子力学的理论结果不符合实验结果,则必须将这些基础公设加以修改,直到没有任何不符合之处。至今为止,量子力学已被实验核对至极高准确度,还没有找到任何与理论不符合的实验结果,虽然有些理论很难直觉地用经典物理的概念来理解,例如,波粒二象性、量子纠缠等等。[15][16]:211ff[17]:165-167
- 量子态公设:量子系统在任意时刻的状态(量子态)可以由希尔伯特空间 中的态矢量 来设定,这态矢量完备地给出了这量子系统的所有信息。这公设意味着量子系统遵守态叠加原理,假若、属于希尔伯特空间,则也属于希尔伯特空间,其中和皆为常数。
- 时间演化公设: 态矢量为 的量子系统,其动力学演化可以用薛定谔方程表示, ;其中,哈密顿算符 对应于量子系统的总能量,是约化普朗克常数。根据薛定谔方程,假设时间从流动到,则态向量从演化到 ,这过程以方程表示为 ;其中, 是时间演化算符。
- 可观察量公设:每个可观察量 都有其对应的厄米算符 ,而算符的所有本征矢量共同组成一个完备基底。
- 坍缩公设:对于量子系统测量某个可观察量 ,这动作可以数学表示为将其对应的厄米算符 作用于量子系统的态矢量 ,测量值只能为厄米算符 的本征值。在测量后,假设测量值为,则量子系统的量子态立刻会坍缩为对应于本征值的本征态 。
- 波恩公设:对于这测量,获得本征值 的概率为量子态处于本征态的概率幅的绝对值平方。[c]
量子态指的是量子系统的状态,态向量可以用来抽象地表现量子态。采用狄拉克标记,态向量表示为右矢;其中,在符号内部的希腊字母可以是任何符号,字母,数字,或单字。例如,沿着磁场方向测量电子的自旋,得到的结果可以是上旋或是下旋,分别标记为或。[19]:93-96
对量子态做操作定义,量子态可以从一系列制备程序来辨认,即这程序所制成的量子系统拥有这量子态。[20]:15-16例如,使用施特恩-格拉赫实验仪器,设定磁场朝着z-轴方向,如右图所示,可以将入射的银原子束,依照自旋的z-分量分裂成两道,一道为上旋,量子态为,另一道为下旋,量子态为,这样,可以制备成量子态为的银原子束,或量子态为的银原子束。原本银原子束的态向量可以按照态叠加原理表示为[18]:1-4
- ;
其中,、是复值系数,、分别为入射银原子束处于上旋、下旋的概率,。
在施特恩-格拉赫实验里,可以透过测量而得到自旋的z-分量,这种物理量称为可观察量,透过做实验测量可以得到其测值。每一个可观察量都有一个对应的量子算符;将算符作用于量子态,会使得量子态线性变换成另一个量子态。假若变换前的量子态与变换后的量子态,除了乘法数值以外,两个量子态相同,则称此量子态为此算符的本征态,称此乘法数值为此算符的本征值。[18]:11-12可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释,每一次测量所得到的测值只能是其中的一个本征值,而且,测得这本征值的机会呈概率性,量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。[19]:106-109例如,自旋的z-分量是个可观察量,做实验可以得到的测值为或。对应于可观察量的量子算符有两个本征值分别为、的本征态、,所以将量子算符分别作用于这两个本征态,会得到[18]:11-12
- 、
- 。
将量子算符作用于量子态,会得到本征值、的概率分别为、。假若本征值为,则量子态会坍缩为量子态;假若本征值为,则量子态会坍缩为量子态。
在量子力学公设里,第二项直接提到量子系统的动力学演化,其遵守含时薛定谔方程,因此,量子态的演化在任意时刻可以被完全预测,具有连续性、命定性与可逆性。第四项提到,当对于量子系统作测量时,其量子态会坍缩至几个本征态中的一个本征态,具有不连续性、概率性与不可逆性。怎样调和这两种不同的行为,一种是关于量子态的自然演化,另一种是关于测量引发的演化,这仍旧是未解决的物理学问题。[20]:7-11
量子系统的动力学演化可以用不同的绘景来表现。通过重新定义,这些不同的绘景可以互相变换,它们实际上是等价的。假若要专注分析量子态怎样随着时间的流易而演化,时间演化算符怎样影响量子态,则可采用薛定谔绘景。假若要专注了解对应于可观察量的算符怎样随着时间的流易而演化、时间演化算符怎样影响这些算符,则可采用海森堡绘景。[18]:80-89
量子力学与经典力学的一个主要区别,在于怎样理论论述测量过程。在经典力学里,一个物理系统的位置和动量,可以同时被无限精确地确定和预测。在理论上,测量过程对物理系统本身,并不会造成任何影响,并可以无限精确地进行。在量子力学中则不然,测量过程本身会对系统造成影响。[21]
怎样才能正确地理论描述对于一个可观察量的测量?设定一个量子系统的量子态,首先,将量子态分解为该可观察量的一组本征态的线性组合。测量过程可以视为对于本征态的一个投影,测量结果是被投影的本征态的本征值。假设,按照某种程序制备出一个系综,在这系综里,每一个量子态都与这量子态相同,现在对于这系综里的每一个量子态都进行一次测量,则可以获得所有可能的测量值(本征值)的机率分布,每个测量值的概率等于量子态处于对应的本征态的概率幅的绝对值平方。[19]:36-37, 96-100
因此,假设对于两个不同的可观察量 和 做测量,改变测量顺序,例如从改变为,则可能直接影响测量结果。假若测量结果有所不同,则称这两个可观察量为不相容可观察量;否则,称这两个可观察量为相容可观察量。以数学术语表达,两个不相容可观察量 和 的对易算符不等于零:[19]:110-112
- 。
不确定性原理表明,越能准确地设定粒子的位置,则越不能准确地设定粒子的动量,反之亦然,[22]:引言以方程表示为[19]:110-114
- ;
其中,、分别为位置、动量的不确定性。
设想一个定域性的波包,假设波包的尺寸为 .从计数波包的周期数,可以知道其波数:
- 。
假若,计数的不确定性为,那么,波数的不确定性是
- 。
根据德布罗意假说,。因此,动量的不确定性是
- 。
由于粒子位置的不确定性是,所以,这两个不相容可观察量的不确定性为[23]:5-6
- 。