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长方体

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长方体

长方体模型
类别 柱体
6
12
顶点 8
欧拉特征数 F=6, E=12, V=8 (χ=2)
面的种类 正方形长方形方形矩形
顶点图 V4.4.4
考克斯特符号英语Coxeter-Dynkin diagram CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
施莱夫利符号 { }×{ }×{ }或{ }3
对称群 D2h, [2,2], (*222), order 8
对偶 双矩形锥
特性 、 等角

(展开图)

几何学中,长方体是一种由六个矩形组成、且每条对应的二面角都是直角的凸多面体,是四角柱的一种,也是一种现代建筑常见的形状[1]。其对应的英文单词Cuboid则是泛指所有由6个四边形以类似立方体的互相连接方式组成的立体[2],其对应的多面体图立方体对应的多面体图相同,但习惯上仍然会以长方体称之[3]。在部分初等教育的教材中会将立方体视为长方体的一个特例[4]

性质

长方体是一种六面体,由6个矩形组成,共有6个面、12条边和8个顶点。每条相邻的边皆互相垂直、每个相邻的面也互相垂直[5]。长方体被平面所截后,截面的形状有可能是三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形、菱形、鹞形、五边形和六边形。[6]

组成

长方体与立方体拓朴结构相同,皆具有6个面、12条边和8个顶点,其中每条边都是两个矩形的公共边,对应的棱之二面角为直角。8个顶点中,每个顶点都是3个矩形的公共顶点,对应的角为三面角。在长方体的6个矩形面中,一般可以分为3组两两全等的矩形[5]

体积与表面积

长方体各边的边长通常可以分为长、宽及高,若已知长方体的长、宽及高则其体积与表面积为:

展开图

边长全部等长的长方体,即立方体,其共有11种展开图[9],而有2种边长的长方体(或称正四角柱)其展开图有27种[10],而若长方体是有3种边长的长方体,则展开图的数量有54种[11][12]

种类

长方体大致可以分为三种,一种是有三组等长边的长方体、另一种是有三组等长边的长方体,通常可以称为正四角柱,最后一种是长方体的特例,即所有边等长的长方体,称为立方体或正方体[4]

名称 正方体
长方体
正四角柱
考克斯特记号 CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
施莱夫利符号 {4,3} {4}×{ }
rr{4,2}
{ }3
tr{2,2}
威佐夫符号 3 | 4 2 4 2 | 2 2 2 2 |
对称性 Oh
[4,3]
(*432)
D4h
[4,2]
(*422)
D2h
[2,2]
(*222)
对称性阶数 24 16 8
图像
对应相同对称性
的立方体表面
涂色结果

用途

长方体常见于日常生活中,如包装盒[13]、搬运用纸箱[14][15][16]货柜[17]、一些家具的形状[18](如桌子、柜子、床等)、现代建筑物的形状[1]等。而在产品包装方面,由于长方体是一种可以独立填满空间的形状[19],因此许多产品(如饮料包装)会选择使用长方体的方式进行包装。[20]

  • 长方体的饮料包
    长方体的饮料包
  • 外型近似长方体的建筑物
    外型近似长方体的建筑物
  • 长方体的货柜
    长方体的货柜
  • 外型近似长方体的床
    外型近似长方体的

参见

参考文献

  1. ^ 1.0 1.1 彭琛. 谈现代工业建筑的立面设计. 四川建材. 2013, (1): 84––86. 
  2. ^ Dupuis, Nathan Fellowes. Elements of Synthetic Solid Geometry. Macmillan. 1893: 53 [2018-12-01]. 
  3. ^ Robertson, Stewart Alexander. Polytopes and Symmetry. Cambridge University Press. 1984: 75. ISBN 9780521277396. 
  4. ^ 4.0 4.1 长方体与正方体的分类及命名 (PDF). wd.naer.edu.tw. [2019-09-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28). 
  5. ^ 5.0 5.1 生活中的立体图形. 教育部中学学习资源. 
  6. ^ 黄慧仪, 冯振业, 长方体的截面 (PDF), EduMath, 2010, 30 [2019-09-28], (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28) 
  7. ^ 7.0 7.1 Weisstein, Eric W. (编). Cuboid. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  8. ^ 『体積』の教科書制作 (PDF), 木曜3限数学心理学(2013年度) (鳥取大学), [2019-09-28], (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28) 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (编). Cube. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  10. ^ 直方体の展開図. 2007年03月08日 [2019年9月28日]. (原始内容存档于2019年9月28日). 
  11. ^ 斋藤徳顕, 松山优子, 渡辺総一郎. 空間図形とその指導 (PDF). 三重大学教育学部. [2019-09-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28). 
  12. ^ 立方体・直方体の展開図の形は何種類?. feynmanino.watson.jp. [2019-09-28]. (原始内容存档于2019-09-28). 
  13. ^ 正方体与长方体 (PDF). 国家教育研究院. [2019-09-28]. (原始内容存档 (PDF)于2019-09-28). 
  14. ^ Soroka, W. Illustrated Glossary of Packaging Terms. Institute of Packaging Professionals. 2008: 33. ISBN 1-930268-27-0. 
  15. ^ Koning, J. Corrugated Crossroads. TAPPI Press. 1995: 35. ISBN 0-89852-299-4. 
  16. ^ 李广才, 孙诚, 黄利强. 硬质直方体集装箱装载系统的开发与优化. 包装工程暋 PACKAGING ENGINEERING. 2011, 32 (3). 
  17. ^ 闻顺发. 国际贸易操作实务. 五南. 2005: 269,. ISBN 9789571140667. 
  18. ^ 王丽卿, 聂志高, 陈国祥. 建筑形式在家具设计上的关连性运用. 设计学报 (Journal of Design). 2009, 10 (2). 
  19. ^ Subramanian, Sai Ganesh and Eng, Mathew and Krishnamurthy, Vinayak and Akleman, Ergun, Delaunay Lofts: A New Class of Space-filling Shapes, ACM SIGGRAPH 2019 Posters, SIGGRAPH '19 (Los Angeles, California: ACM), 2019: 81:1––81:2, ISBN 978-1-4503-6314-3, doi:10.1145/3306214.3338576 
  20. ^ 李祐宗. 饮料包的数学. 湖县国教辅导团. 
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