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闭集

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满足
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2))
  
的点
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
着蓝色。满足
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        <
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}<r^{2))
  
的点
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
  
着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。
满足的点着蓝色。满足的点着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

拓扑空间中,闭集是指其补集开集的集合。在一个拓扑空间内,闭集可以定义为一个包含所有其极限点的集合。在完备度量空间中,一个闭集的极限运算是闭合的。不要混淆于闭流形

闭集等价的定义

在一个任意的拓扑空间内,一个集合是闭集当且仅当它与它的闭包相同。等价地,一个集合是闭集当且仅当所有的极限点都是这个集合中的点;也就是,

性质

闭集包含其自身的边界。换句话说,这个概念基于“外部”的概念,如果你在一个闭集的外部,你稍微“抖动”一下仍在这个集合的外部。注意,这个概念在边界为空的时候还是真的,比如在有理数的度量空间中,对于平方小于2的数的集合。

任意多个闭集的交集是闭集;有限多个闭集的并集是闭集。特别的,空集和全空间是闭集。

交集的性质也被用来定义空间上的集合闭包,即的闭合子集中最小的父集。特别的,的闭包可以通过所有的其闭合父集的交集来构造。

例子

  • 区间实数上是闭集。(方括号、圆括号的集合符号,参见区间文中的解释。)
  • 单位区间在实数的度量空间中是闭集。而集合有理数上是闭集,但在实数上并不是闭集。
  • 有些集合既不是开集也不是闭集,如实数上的半开区间
  • 有些集合既是开集也是闭集叫做闭开集,最简单的例子就是空集合以及拓朴空间本身。
  • 半区间在实数上是闭集。
  • 康托尔集是一个独特的闭集,它包含所有边界点,并且没有一处是稠密的。
  • 仅包含一个点的集合(显然它是有限集)在豪斯多夫空间内是闭集。
  • 如果是拓扑空间,而是一个从的连续函数当且仅当中任意的闭集原像中也是闭集。

细说

上述闭集的定义是根据开集而来得,这一概念在拓扑空间上是有意义的,同时也适用于含有拓扑结构的其他空间,如度量空间可微流形一致空间和规格空间。

另一种对闭集的定义是通过序列。拓扑空间上的子集闭合的,当且仅当的元素组成的任意序列的任意极限仍然属于。这一表述的价值在于,它可以用在收敛空间的定义中,而收敛空间比拓扑空间更普通。注意,这一表述仍然依赖背景空间,因为序列是否在中收敛依赖于中的点。

集合是否是闭合的通常取决于它所在的空间。然而在某种意义上,紧致豪斯多夫空间是“绝对闭合的”。精确地说,将紧致的豪斯多夫空间放在任意豪斯多夫空间中,总是的一个闭合子集;这和“背景空间”没有关系。实际上,这个性质刻画了紧致的豪斯多夫空间。

参见

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闭集
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