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闭值域定理

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闭值域定理数学中的巴拿赫空间理论中的一个定理,给出了闭合稠定线性算子(closed densely defined operator)的值域为闭集的充要条件。这一定理由斯特凡·巴拿赫于1932年在《线性算子理论》(Théorie des opérations linéaires)一文中给出了证明。

XY为巴拿赫空间,若T : D(X) → Y是一个闭合的线性算子,它的定义域D(X)在X中稠密,而是它的转置算子。则定理指出,如下四个结论等价:

  • 的值域(中的闭集。
  • 的值域对偶空间中的闭集。

此定理有一些直接的推论。比如,当且仅当算子的转置存在连续的逆算子时(continuous inverse),存在一个稠定线性算子T使得Im(T) = Y。相似地,当且仅当T存在连续的逆算子时,

另见

参考来源

  • Yosida, K., Functional Analysis, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Fundamental Principles of Mathematical Sciences),vol. 123 6th, Berlin,New York: Springer-Verlag, 1980 .


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