闵可夫斯基不等式数学不等式 / 维基百科,自由的 encyclopedia 在数学中,闵可夫斯基不等式(Minkowski inequality)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 S {\displaystyle S} 是一个测度空间, 1 ≤ p ≤ ∞ , f , g ∈ L p ( S ) {\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,f,g\in L^{p}(S)} ,那么 f + g ∈ L p ( S ) {\displaystyle f+g\in L^{p}(S)} ,我们有: ‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}} 如果 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } ,等号成立当且仅当 ∃ k ≥ 0 , f = k g {\displaystyle \exists k\geq 0,f=kg} ,或者 g = k f {\displaystyle g=kf} . 闵可夫斯基不等式是 L p ( S ) {\displaystyle L^{p}(S)} 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式: ( ∑ k = 1 n | x k + y k | p ) 1 p ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 p + ( ∑ k = 1 n | y k | p ) 1 p {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}} 将所有实数 x 1 , ⋯ , x n , y 1 , ⋯ , y n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1}\,,\ \cdots ,y_{n}} ( n {\displaystyle n} 为 S {\displaystyle S} 的维数)改成复数同样成立。 值得指出的是,如果 x 1 , ⋯ , x n , y 1 , ⋯ , y n > 0 {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}>0} , p < 1 {\displaystyle p<1} ,则 ≤ {\displaystyle \leq } 可以变为 ≥ {\displaystyle \geq } . Jetson Nano B01 4GB Developer Kit
在数学中,闵可夫斯基不等式(Minkowski inequality)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 S {\displaystyle S} 是一个测度空间, 1 ≤ p ≤ ∞ , f , g ∈ L p ( S ) {\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,f,g\in L^{p}(S)} ,那么 f + g ∈ L p ( S ) {\displaystyle f+g\in L^{p}(S)} ,我们有: ‖ f + g ‖ p ≤ ‖ f ‖ p + ‖ g ‖ p {\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}} 如果 1 < p < ∞ {\displaystyle 1<p<\infty } ,等号成立当且仅当 ∃ k ≥ 0 , f = k g {\displaystyle \exists k\geq 0,f=kg} ,或者 g = k f {\displaystyle g=kf} . 闵可夫斯基不等式是 L p ( S ) {\displaystyle L^{p}(S)} 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式: ( ∑ k = 1 n | x k + y k | p ) 1 p ≤ ( ∑ k = 1 n | x k | p ) 1 p + ( ∑ k = 1 n | y k | p ) 1 p {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}} 将所有实数 x 1 , ⋯ , x n , y 1 , ⋯ , y n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1}\,,\ \cdots ,y_{n}} ( n {\displaystyle n} 为 S {\displaystyle S} 的维数)改成复数同样成立。 值得指出的是,如果 x 1 , ⋯ , x n , y 1 , ⋯ , y n > 0 {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}>0} , p < 1 {\displaystyle p<1} ,则 ≤ {\displaystyle \leq } 可以变为 ≥ {\displaystyle \geq } .