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阻力

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阻力(又称后曳力流体阻力)是物体在流体中相对运动所产生与运动方向相反的。 对于一个在流体中移动的物体,阻力为周围流体对物体施力,在移动方向的反方向上分量的总和。而施力和移动方向垂直的分量一般则视为升力。因此阻力和物体移动方向恰好相反,像飞机前进时会产生推力来克服阻力的影响。

航天动力学中,大气阻力可以视为太空飞行器在发射时的低效率,其影响则是在发射时需要额外的能量,不过在返回轨道时大气阻力有助于太空飞行器减速,可减少减速额外需要的能量,不过大气阻力产生的热量甚至可以将物体熔化。

分类

阻力一般可以分为以下几类:

  • 寄生阻力(parasitic drag),包括
    • 形状阻力(form drag)
    • 摩擦阻力(skin friction)
    • 干扰阻力(interference drag )

对于高速(或高雷诺数)的流场而言,一物体的阻力的特性可以用一个无因次阻力系数来描述,配合阻力系数,可以用阻力方程式来计算阻力。若阻力系数为一常数,阻力约和相对速度的平方成正比,因此需克服阻力需要的功率则和速度的立方成正比。

高速时的阻力

NASA对阻力的解说

阻力方程式可计算物体在较高速(雷诺数Re > ~1000)流体下的阻力,此阻力也称为二次阻力或平方阻力。此方程式是由瑞利勋爵所提出,提出时用L2L代表某特定长度)代替A,物体所受的流体阻力如下:

其中

为阻力
为流体密度[1]
为流体相对于物体的速度
为阻力系数,为一无因次的参数,像汽车的阻力系数约为0.25至0.45
为参考面积

参考面积A一般定义为物体在运动方向上的正交投影面积。对于形状简单的物体(例如球),参考面即为截面。有时会使用其他的参考面积来定义一物体的阻力系数,此时需特别标明使用的参考面。

以机翼而言,若阻力及升力使用的参考面积相同,阻力及升力的比值(升阻比)即为阻力系数及升力系数的比值,在比较阻力及升力的大小时最为方便[2]。因此机翼阻力系数的参考面积一般会是机翼的翼面积(即机翼沿垂直方向的投影面积),而不是沿飞行方向的投影面积[3]

若物体有光滑的表面,在流场中没有固定的分离点(例如球或圆柱),其阻力系数会随着雷诺数Re而变化,甚至在雷诺数很高(其量级到107)时也是如此[4][5]。若物体有在流场中有固定的分离点(例如一法向量和流场方向平行的圆盘),在雷诺数Re > 3,500时,阻力系数不随雷诺数而变化[5]。若物体不是球对称,阻力系数也是流场和物体本身对称轴夹角的函数。

自由落体的速度

一物体在在时间t = 0时的初速v = 0,在非浓稠的介质落下(因此不考虑介质的浮力),其速度可以用以下的双曲函数表示:

t很大时,双曲正切函数tanh其函数极限值为1,因此上述的速度有一渐近值,称为终端速度vt

对于形状接近球形、平均半径为d、密度为ρobj的物体,终端速度约为

若物体的密度接近水(如雨滴、冰雹、鸟、昆虫等)差不多,在接近海平面的地表落下,终端速度约为

其中

d 的直径,单位是米
vt 为速度,单位为m/s。

例如人体( ~ 0.6 m)其 约为 70 m/s,体型接近猫的动物( ~ 0.2 m)其 约为 40 m/s,小鸟( ~ 0.05 m)其 ~ 20 m/s约为 40 m/s,而昆虫( ~ 0.01 m)其 ~ 9 m/s。

非常小的物体(例如花粉)在低雷诺数流体中的终端速度可以用斯托克斯定律来描述。

较大的生物其终端速度较高,因此从高处落下时致命的可能性也较高。例如老鼠和人分别以各自的终端速度坠落时,老鼠其存活的可能性会比人高很多。若蚱蜢以其终端速度坠落时,可能甚至不会受伤。生物大小和其终端速度的关系,以及其肢体截面积和身体质量间的比例关系(一般称为平方立方定律英语Square-cube law)可用来说明为何有些小动物从高处落下时不会受伤[6]

雷诺数很低时的阻力

三个由相同角度(70°)射出物体的轨迹。黑色物体未受到任何阻力,其轨迹为抛物线,蓝色物体受到斯托克斯阻力,而绿色物体受到牛顿阻力。
三个由相同角度(70°)射出物体的轨迹。黑色物体未受到任何阻力,其轨迹为抛物线,蓝色物体受到斯托克斯阻力,而绿色物体受到牛顿阻力

当物体在雷诺数很低,没有紊流(雷诺数)的流体中[7]移动时,其受到的阻力称为黏滞阻力、线性阻力。此情形下,阻力大约和速度成正比,但和速度方向相反。黏滞阻力的方程式如下:[8]

其中:

为一常数,和流体特性及物体尺寸有关
为物体和流体的相对速度

若一物体由静止状态落下,其速度为

其速度会趋近终端速度。若为定值,较重的物体会较快落下。

对于小的球形物体缓慢的通过黏性流体(因此雷诺数很小)的情形,斯托克斯推导其阻力常数如下

其中

为物体的当量球径
为流体的黏滞系数

例如,考虑一半径 = 0.5 微米(直径=1.0 µm)的球形物体以10 µm/s的速度通过水中。依上式可得其阻力为0.09 pN,这也就是细菌游过水中所受到的阻力。

空气动力学中的阻力

飞行中飞机所受到的空气阻力。分成四大类。分别是摩擦阻力、压差阻力、寄生阻力及诱导阻力。

其中摩擦阻力、压差阻力、寄生阻力与速度的平方成正比,诱导阻力则与速度的平方成反比。飞行阻力是这四种阻力的合成。

诱导阻力

诱导阻力和升力的关系
诱导阻力和升力的关系

诱导阻力(或称感应阻力)是指飞行体在产生升力时,一并衍生的阻力。诱导阻力包括二个主要组成成分,一个是因为涡流而产生的阻力(涡流阻力),另一个则是额外产生的黏滞阻力。在飞行体通过空气时,其上表面及下表面的气流压强不同,但在飞行体尾端,上方及下方不同压强的气流会混合,产生紊流及涡流[9]

在其他参数不变的条件下,当飞行体产生的升力增加时,其诱导阻力也随之增加。对飞行中的飞机而言,这表示在飞机失速前,当其攻角升力系数增加时,其诱导阻力也随之增加。当失速时,升力及诱导阻力都突然下降,而此时飞行体表面形成独立的紊流,造成寄生阻力中的黏滞压差阻力上升

寄生阻力

寄生阻力是一物体在一不可压缩流体中移动所受到的阻力。寄生阻力中包括由秥滞力产生压强差的阻力(形状阻力)以及因表面粗糙度产生的阻力(表面摩擦阻力)。若物体附近有其他相邻近的物体,会产生干扰阻力,有时也会视为寄生阻力的一部分。

在低速飞行时,由于维持升力需要的功率较大,飞机的攻角较大,其产生的诱导阻力也较大。不过当速度提高时诱导阻力随之下降,而流体相对物体的速度提高,因此寄生阻力会变大。若速度已到达穿音速,波动阻力也随之出现。其中速度提高时,诱导阻力下降,其他阻力却随之上升,因此总阻力会在某一速度时出现最小值,若飞机以此速度航行,其效率会等于或接近其最佳效率。飞行员会以此速度来使续航力最大化(使油耗最小化),或是在引撃故障时可以使滑翔距离最大化。

飞行时的功率曲线

功率曲线:寄生阻力及诱导阻力和速度之间的关系
功率曲线:寄生阻力及诱导阻力和速度之间的关系

可以将寄生阻力及诱导阻力相对速度的特性曲线绘制在同一图上,此图在航空学中称为功率曲线。功率曲线可以让飞行员了解不同速度下,飞机飞行所需要输出的功率,是非常重要的曲线。

功率曲线中寄生阻力及诱导阻力有一交点,交点处的阻力总和最小。交点的右侧为正常控制区,当速度越高时,维持定速需要的推力越大。交点的左侧为反向控制区,此区域的功率特性恰好与一般直觉的认知相反:当速度越低时,维持定速需要的推力越大。夂当速度越高时,维持定速需要的推力越大。若飞机的速度低于此交点对应的速度,会出现一个不符合人类直觉的特性:当速度越低时,维持定速需要的推力越大。

跨音速及超音速的波动阻力

阻力系数与音速的关系示意图
阻力系数与音速的关系示意图

波动阻力(压缩性阻力)是指一高速物体通过可压缩流体时所出现的阻力。在空气动力学中,依飞行速度的不同,波动阻力也可分为几种不同的组成成分。

在跨音速飞行(马赫数介于0.8及1.4之间)时,波动阻力是飞行体形成激波后的结果。一般会出现在出现局部超音速流(局部流体马赫数大于1.0)的区域。实务上,当飞行体较音速低很多,但加速时部分区域的空气速度超过音速,就会出现局部超音速流。因此飞机附近的气流既有超音速流,也有低于音速的亚音速。飞机在跨音速飞行的正常运作过程中常会产生波动阻力,这种波动阻力常称为跨音速压缩性阻力。当马赫数接近1时,跨音速压缩性阻力会显著的上升,远大于同速度下的其他阻力。

在超音速飞行(马赫数大于1.0)时,会在飞行体的前缘后缘出现斜激波。若速度非常高,或是飞行体转弯角度够大时,则会出现舷波(bow wave)。在超音速飞行时,阻力一般可以分为二个成分:超音速升力相关的波动阻力,及超音速体积相关的波动阻力。

布斯曼双翼机英语Busemann's Biplane是一种特殊型式的飞行体,当依其设计速度航行时,完全不产生波动阻力,不过它本身无法产生升力。

达朗伯特悖论

位流理论是18世纪最能解释非黏性流的理论。但1752年时法国物理学家达朗伯特依位流理论,推导到位流下其阻力为零的结果,此结果和实测结果矛盾,因此称为达朗伯特悖论英语D'Alembert's_paradox

19世纪时科学家圣维南纳维斯托克斯开始用纳维-斯托克斯方程来分析黏性流。斯托克斯推导了一球形物体在雷诺数很低的流体中的阻力,其结果即为斯托克斯定律[10]

纳维-斯托克斯方程在高雷诺数时会趋近非黏性流的欧拉方程式,此时可以用位流理论进行分析,得到阻力为零的结果,但所有在高雷诺数下进行的实验,均证实阻力的存在,和位流所得的结果矛盾。科学家也试着找出除了位流以外,欧拉方程在非黏性定常流的解,不过没有什么进展[10]

1904年德国科学家普朗特依理论及实验的结果,提出了边界层的概念,也说明了高雷诺数流体为何会产生阻力[10]

相关

脚注

  1. ^ 若在地球大气层中,空气密度可以用压高公式英语barometric formula计算。在0°C,一大气压条件下密度为1.293 kg/m3
  2. ^ Size effects on drag 页面存档备份,存于互联网档案馆, from NASA Glenn Research Center.
  3. ^ Wing geometry definitions 页面存档备份,存于互联网档案馆, from NASA Glenn Research Center.
  4. ^ Roshko, Anatol. Experiments on the flow past a circular cylinder at very high Reynolds number. Journal of Fluid Mechanics. 1961, 10 (3): 345–356. Bibcode:1961JFM....10..345R. doi:10.1017/S0022112061000950. 
  5. ^ 5.0 5.1 Batchelor (1967), p. 341.
  6. ^ Haldane, J.B.S., "On Being the Right Size" 页面存档备份,存于互联网档案馆
  7. ^ Drag Force 互联网档案馆存档,存档日期2008-04-14.
  8. ^ Air friction, from Department of Physics and Astronomy, Georgia State University
  9. ^ 管德. 坐飞机去. 北京: 清华大学出版社. 2000: 72. ISBN 7810299379. 
  10. ^ 10.0 10.1 10.2 Batchelor (2000), pp. 337–343.

参考资料

  • French, A. P. Newtonian Mechanics (The M.I.T. Introductory Physics Series) 1st. W. W. Norton & Company Inc., New York. 1970. ISBN 0393099709. 
  • Serway, Raymond A.; Jewett, John W. Physics for Scientists and Engineers 6th. Brooks/Cole. 2004. ISBN 0-534-40842-7. 
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics 5th. W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0809-4. 
  • Huntley, H. E. Dimensional Analysis. Dover. 1967. LOC 67-17978. 
  • Batchelor, George. An introduction to fluid dynamics. Cambridge Mathematical Library 2nd. Cambridge University Press. 2000. ISBN 978-0-521-66396-0. MR1744638. 

外部链接

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