阿尔泽拉-阿斯科利定理
緊度量空間到度量空間的函數集合,在均勻收斂拓撲下,何時為緊 / 维基百科,自由的 encyclopedia
在数学中,阿尔泽拉-阿斯科利定理是泛函分析中的一个定理,给出了从紧致度量空间射到度量空间的函数集合在一致收敛的拓扑意义上是紧集的一个充分必要条件。其中主要涉及的条件是函数集的等度连续性质。
等度连续的概念大约是在十九世纪的八十年代由两位意大利数学家朱利奥·阿斯科利(于1883年-1884年)[1] 和切萨雷·阿尔泽拉(于1882年-1883年)[2]提出的。阿斯科利在1883年的论文中,证明了定理中,连续函数集为紧集的充分条件,而阿尔泽拉则在1895年的另一篇论文中证明了定理的另一部分:成为紧集的必要条件,并首次给出了定理的完整证明[3]。而不久之后,在1906年,法国数学家弗雷歇又将这个定理进行了推广,使得在任意的能够定义极限的空间中都有同样的结果(比如度量空间或豪斯多夫空间)。
在阿尔泽拉-阿斯卡利定理首次获证的年代,人们并没有充分理解该定理的重要意义。随着研究的不断深入,紧致性成为了分析学、拓扑学领域的关键概念,而此定理就描述了紧致性。[4] 该定理是利用欧拉法证明常微分方程组理论中的皮亚诺存在性定理时不可或缺的一环,[5]也是复分析中的蒙泰尔定理的证明中的重要组成部分。此外,彼得-外尔定理的一个证明中用到了此定理[6]。