双曲几何
非歐幾里德幾何的一種特例 / 维基百科,自由的 encyclopedia
双曲几何又名罗氏几何(罗巴切夫斯基几何),是非欧几里德几何的一种特例。与欧几里德几何的差别在于第五条公理(公设)-平行公设。在欧几里德几何中,若平面上有一条直线R和线外的一点P,则存在唯一的一条线满足通过P点且不与R相交(即R的平行线)。但在双曲几何中,至少可以找到两条相异的直线,且都通过P点,并不与R相交,因此它违反了平行公设。然而,取代欧几里德几何中的平行公设的双曲几何本身并无矛盾之处,仍可以推得一系列属于它的定理,这也说明了平行公设独立于前四条公设,换句话说,无法由前四条公设推得平行公设。
到目前为止,数学家对双曲几何中平行线的定义尚未有共识,不同的作者会给予不同的定义。这里定义两条逐渐靠近的线为渐近线,它们互相渐进;两条有共同垂直线的线为超平行线,它们互相超平行,并且两条线为平行线代表它们互相渐进或互相超平行。双曲几何还有一项性质,就是三角形的内角和小于一个平角(180°)。在极端的情况,三角形的三边长趋近于无限,而三内角趋近于0°,此时该三角形称作理想三角形。
双曲几何专门研究当平面变成鞍马型之后,平面几何到底还有哪些可以适用,以及会有什么特别的现象产生。在双曲几何的环境里,平面的曲率是负数。