双球坐标系(英语:Bispherical coordinates)是一种三维正交坐标系。设定二维双极坐标系包含于 xz-平面。设定这双极坐标系的两个焦点 与 包含于 z-轴。将双极坐标系绕着 z-轴旋转,则可以得到双球坐标系。在这二维双极坐标系里,坐标 的等值曲线是圆圈。 经过旋转后,圆圈变成一个环面,而圆圈的圆心变成一个包含于 xy-平面的圆圈,称为环心圆。称环心圆至环面的距离为环小半径。
基本定义
在三维空间里,一个点 P 的双球坐标 最常见的定义是
- 、
- 、
- ;
其中, 是直角坐标, 坐标是 的弧度, 坐标是点 P 离两个焦点的距离 与 的比例的自然对数:
- 。
每一个红色的 -坐标曲面都是包含了两个焦点 与 环面。,每一个环面的环心圆都不相同。这些环心圆都包含于 xy-平面。环小半径为
- 。
当绝对值 增加时,环小半径会减小,环心圆会靠近原点。当环心圆与原点同点时, 达到最大值 。
每一个蓝色的 -坐标曲面都是不相交的圆球面。每一个圆球面都包围着一个焦点;圆球心都包含于 z-轴。圆球半径为
- 。
它们的圆球心都包含于 z-轴。正值 的圆球面在 半空间;而负值 的圆球面在 半空间。 曲线则与 xy-平面同平面。当 值增加时,圆球面的半径会减少,圆球心会靠近焦点。
双球坐标 可以用直角坐标 来表示。方位角 的公式为
- 。
点 P 与两个焦点之间的距离是
- 、
- 。
是 与 的比例的自然对数:
- 。
如图 3 , 是两条从点 P 到两个焦点的线段 之间的夹角。这夹角的弧度是 。用余弦定理来计算:
- 。
双球坐标 与 的标度因子相等:
- 。
方位角的标度因子为
- 。
无穷小体积元素是
- 。
- 。
其它微分算子,像 , ,都可以用 坐标表示,只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。
应用
双球坐标有一个经典的应用,这是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里,双球坐标允许分离变数法的使用。一个典型的例题是,有两个不同半径的圆球导体,请问其周围的电位与电场为什么?应用双球坐标,我们可以精致地分析这个问题。
参阅
参考目录
- Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 665–666.
- Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182.
- Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 113. ISBN 0-86720-293-9.
- Moon PH, Spencer DE. Toroidal Coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd ed., 3rd revised printing. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 110–112 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7.
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