双线性形式 - Wikiwand
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双线性形式

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在域 F 中,向量空间 V双线性形式指的是一个V × VF 上的线性函数 B, 满足:

,映射:

都是线性的。这个定义也适用于交换环,这时线性函数要改为模同态

注意一个双线性形式是特别的双线性映射

坐标表法

如果V是n维向量空间,设V的一组。定义 阶的矩阵A使得。当 的矩阵xy表示向量uv时,双线性形式B可表示为:

考虑另一组基 ,其中S是一个可逆的 阶矩阵(基底转换矩阵),则双线性形式在下的矩阵的形式为:

对偶空间映射

V的每一个双线性形式B都定义了一对由V射到它的对偶空间V*的线性函数。 定义

常常记作:

这里的(–)是放变量的位置。

如果 V是有限维空间的话,V和它的双对偶空间V**是同构的,这时B2B1 的转置映射(如果V是无限维空间,B2限制在VV**的像下的部分是B1 的转置映射)。 定义B的转置映射为双线性形式:

如果 V是有限维空间,B1B2 的秩相等。如果他们的秩等于V的维数的话,B1B2 就是由VV*的同构映射(显然B1是同构当且仅当B2 是同构),此时,B非退化的。实际上在有限维空间里,这常常作为非退化的定义:B非退化的当且仅当

镜像对称性和正交性

双线性形式 B : V × VF镜像对称的当且仅当:

有了镜像对称性,就可以定义正交:两个向量v和w关于一个镜像对称的双线性形式正交当且仅当:
一个双线性形式的是指与所有其他向量都正交的向量的集合。一个矩阵表示为x的向量v属于双线性形式的当且仅当(等价于),根一般是V的子空间,

当A是非奇异矩阵,即当B是非退化时,根都是零子空间{0}。

设W是一个子空间,定义

B是非退化时,映射是双射,所以的维数等于dim(V)-dim(W)。

可以证明,双线性形式B镜像对称的当且仅当它是以下两者之一:

  • 对称的:
  • 交替(alternating)的:

每个交替形式都是斜对称(skew-symmetric)(或称反对称(antisymmetric))的,只要展开

B(v+w,v+w)就可看出。

F特征不为2时,逆命题也是真的。斜对称的形式必定交替。然而,当char(F)=2时,斜对称就是对称,因此不全是交替的。

一个双线性形式是对称的(反对称的)当且仅当它对应的矩阵是对称的(反对称的)。一个双线性形式是交替的当且仅当它对应的矩阵是反对称的,且主对角线上都是零。(在F特征不为2时的情况下)

一个双线性形式是对称的当且仅当 相等,是旋钮对称的当且仅当。char(F) ≠ 2 时,一个双线性形式可以按成对称和反对称部分分解:

其中B* 是B 的转置映射。

不同空间的推广

这套理论有很大一部分可推广到双线性映射的情形:

B: V × WF.

此时仍有从 VW 的对偶、及从 WV 的对偶的映射。当 V, W 皆有限维,则只要其中之一是同构,另一个映射也是同构。在此情况下 B 称作完美配对

张量积关系

张量积泛性质 上的双线性形式一一对映至线性映射 :若 上的双线性形,则相应的映射由下式给出

所有从 的线性映射构成 的对偶空间,此时双线性形式遂可视为下述空间的元素:

同理,对称双线性形式可想成二次对称幂 S2V* 的元素,而交代双线性形式则可想成二次外幂 Λ2V* 的元素。

参见

外部链接

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