给予空间的某个区域内,任意位置的电场。原则上,应用高斯定律,可以很容易地计算出电荷的分布。只要积分电场于任意区域的表面,再乘以真空电容率,就可以得到那区域内的电荷数量。
但是,更常遇到的是逆反问题。给予电荷的分布,求算在某位置的电场。这问题比较难解析。虽然知道穿过某一个闭合曲面的电通量,这资料仍旧不足以解析问题。在闭合曲面任意位置的电场可能会是非常的复杂。
假若,问题本身显示出某种对称性,促使在闭合曲面位置的电场大小变得均匀。那么,就可以借着这均匀性来计算电场。像圆柱对称、平面对称、球对称等等,这些空间的对称性,都能帮助高斯定律来解析问题。若想知道怎样利用这些对称性来计算电场,请参阅高斯曲面(Gaussian surface)。
高斯定律的方程的微分形式为
- 。
其中 为体电荷密度, 为真空电容率。
在数学里,高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。
自由电荷是自由移动,不被束缚于原子或分子内的电荷;而束缚电荷则是束缚于原子或分子内的电荷。当遇到涉及电介质的问题时,才需要考虑到束缚电荷所产生的效应。当电介质被置入于外电场时,电介质内的束缚电荷会被外电场影响,虽然仍旧束缚于其微观区域(原子或分子),但会做微小位移。所有这些微小位移的贡献造成了宏观的电荷分布的改变。
虽然微观而言,不论是自由电荷,还是束缚电荷,本质上都是电荷。实际而言,对于某些案例,使用自由电荷的概念可以简化问题的解析。但有时候,由于问题比较复杂,缺乏对称性,必需采用其它方法来解析问题。
只涉及自由电荷,这个高斯定律表述的微分形式可以表达为
其中, 是自由电荷密度,完全不包括束缚电荷。
请注意,在某种状况下,虽然区域内可能没有自由电荷, 。但是,这并不表示电位移等于 0 。因为,
- ;
其中, 是电极化强度。
取旋度于方程的两边,
- 。
所以,电位移很可能不等于 0 。最典型的例子是永电体。
在数学里,高斯定律的微分形式等价于其积分形式。这等价关系可以用散度定理来证明。
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库仑定律阐明,一个固定的点电荷的电场是
- ;
其中, 是点电荷, 是电场位置, 是点电荷位置。
根据这方程,计算位于 的无穷小电荷元素所产生的位于 的电场,积分体积曲域 内所有的无穷小电荷元素,可以得到电荷分布所产生的电场:
- 。
取这方程两边对于 的散度:
- 。
注意到
- ;
其中,是狄拉克δ函数。
所以, 的散度是
- 。
利用狄拉克δ函数的挑选性质,可以得到高斯定律的微分形式:
- 。
或者可以这样得到高斯定理的积分形式:
点电荷电场通过面元的电通量为
对于单点电荷情形,
( i ) 在高斯面内,
( ii ) 在高斯面外,
故可以得到, ,即
若包围在S面内的电荷具有一定体分布,电荷体密度为,则高斯定理可写成:
由于库仑定律只能应用于固定不动的电荷,对于移动电荷,这导引不能证明高斯定律成立。事实是,对于移动电荷,高斯定律也成立。所以,从这角度来看,高斯定律比库仑定律更一般化。
- 卡尔·高斯
- 镜像法
- 恩绍定理(Earnshaw's theorem)
- 格林互反定理(Green's reciprocity theorem)
- 多极展开(multipole expansion)
Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 326–333, 1998, ISBN 0-13-805326-X