魏尔斯特拉斯椭圆函数 - Wikiwand
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魏尔斯特拉斯椭圆函数

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数学中,魏尔斯特拉斯椭圆函数(Weierstrass's elliptic functions)又称 p 函数并且以 符号表示,是格外简单的一类椭圆函数,也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。

魏尔斯特拉斯p函数的符号

定义

固定 中的格 上线性无关),对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是

显然右式只与格 相关,无关于基 之选取。 的元素也称作周期。

另一方面,格 在取适当的全纯同态 后可表成 ,其中 属于上半平面。对于这种形式的格,

反之,由此亦可导出对一般的格之公式

在数值计算方面, 可以由Θ函数快速地计算,方程是

  • 在周期格中的每个点, 有二阶极点
  • 是偶函数。
  • 复导函数 是奇函数。

加法定理

假设 ,上式有一个较对称的版本

此外

魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式:若 不是周期,则

微分方程与积分方程

定义 (依赖于 )为

求和符号 意谓取遍所有非零的 。当 时,它们可由艾森斯坦级数 表示。

则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程

给出了从复环面 映至三次复射影曲线 的全纯映射;可证明这是同构。

另一方面,将上式同除以 ,积分后可得

右侧是复平面上的路径积分,对不同的路径 ,其积分值仅差一个 的元素;所以左式应在复环面 中考虑。在此意义下,魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。

模判别式

续用上节符号,模判别式 定义为下述函数

视为周期格的函数,这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。

文献

  • Stein. Complex Analysis.
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
  • K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
  • Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部链接

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