黄金矩形

黄金矩形是长宽比为黄金比${\displaystyle \varphi }$的矩形。

${\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\approx 1.6180339887...}$

1.6180339887498948...
	1

特性

以黄金矩形短边为边长画一正方形，减去正方形即得小黄金矩形：

设黄金矩形短边为${\displaystyle b}$，长边${\displaystyle a}$为${\displaystyle \varphi b}$
若以黄金矩形短边为边长画一正方形，则长边剩下的长度为

${\displaystyle a-b=(\varphi -1)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}-1\right)b=\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)b={\frac {2}{{\sqrt {5}}+1}}b={\frac {1}{\varphi }}b}$

${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$和${\displaystyle {\tfrac {b}{a-b}}}$的比均为${\displaystyle \varphi }$，所组成的矩形仍为黄金矩形。

绘制

黄金矩形画法

黄金矩形可以尺规作图来绘制

1. 画一正方形
2. 以方形任一边的中点为圆心，到对角长（即切割出来的长方形的对角线）为半径画弧
3. 把该边延长到上步所画的弧即完成黄金矩形的长边
4. 完成剩余部分

原理

黄金比等于

${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1}$

约等于162：100

同乘2等于

${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}:2}$

约等于162：100

将正方形一边看作2
由中点到对角长的长度即是${\displaystyle {\sqrt {5}}}$（由勾股定理求出），故所求出的长边即是${\displaystyle 1+{\sqrt {5}}}$

参看

• 黄金螺线