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李纳-维谢势

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在这篇文章内,向量标量分别用粗体斜体显示。例如,位置向量通常用 表示;而其大小则用 来表示。检验变数或场变数的标记的后面没有单撇号“”;源变数的标记的后面有单撇号“”。
艾密·维谢
艾密·维谢

电动力学里,李纳-维谢势指的是移动中的带电粒子推迟势。从麦克斯韦方程组,可以推导出李纳-维谢势;而从李纳-维谢势,又可以推导出一个移动中的带电粒子所生成的含时电磁场。但是,李纳-维谢势不能描述微观系统的量子行为

阿弗雷-玛丽·李纳英语Alfred-Marie Liénard于1898年,艾密·维谢英语Emil Wiechert于1900年,分别独立地研究求得李纳-维谢势的公式[1][2]。于1995年,Ribarič和Šušteršič正确计算出移动中的偶极子四极子的推迟势[3]

历史重要性

经典电动力学的研究,关键地助导阿尔伯特·爱因斯坦发展出相对论。爱因斯坦细心地分析李纳-维谢势和电磁波传播,所累积的心得,引领他想出在狭义相对论里对于时间和空间的概念。经典电动力学表述是一个重要的发射台,使得物理学家能够飞航至更复杂的相对论性粒子运动的学术领域。

虽然经典电动力学表述的李纳-维谢势,可以很准确地描述,独立移动中的带电粒子的物理行为,但是在原子层次,这表述遭到严峻的考验,无法给出正确地答案。为此缘故,物理学家感到异常困惑,因而引发了量子力学的创立

对于粒子发射电磁辐射的能力,量子力学又添加了许多新限制。经典电动力学表述,表达于李纳-维谢势的方程,明显地违背了实验观测到的现象。例如,经典电动力学表述所预测的,环绕着原子不停运动的电子,由于连续不断地呈加速度状态,应该会不停地发射电磁辐射;但是,实际实验观测到的现象是,稳定的原子不会发射任何电磁辐射。经过研究论证,物理学家发现,电磁辐射的发射完全源自于电子轨域的离散能级跃迁(参阅玻尔原子)。在二十世纪后期,经过多年的改进与突破,量子电动力学成功地解释了带电粒子的放射行为。

物理理论

带电粒子的移动轨道。
带电粒子的移动轨道。

假设,从源头位置往检验位置发射出一束电磁波,而这束电磁波在检验时间抵达观测者的检验位置,则这束电磁波发射的时间是推迟时间。由于电磁波传播于真空的速度是有限的,观测者检验到电磁波的检验时间,会不同于这电磁波发射的推迟时间推迟时间 定义为检验时间减去电磁波传播的时间:

其中,光速

推迟时间的概念意味着电磁波的传播不是瞬时的。电磁波从发射位置传播到终点位置,需要一段传播期间,称为时间延迟。与日常生活的速度来比,电磁波传播的速度相当快。因此,对于小尺寸系统,这时间延迟,通常很难察觉。例如,从开启电灯泡到这电灯泡的光波抵达到观测者的双眼,所经过的时间延迟,只有几兆分之一秒。但是,对于大尺寸系统,像太阳照射阳光到地球,时间延迟大约为8分钟,可以经过实验侦测察觉。

表达方程

假设,一个移动中的带电粒子,所带电荷为,随着时间而改变的运动轨道为。设定矢量为从带电粒子位置到检验位置的分离矢量:

则李纳-维谢标势和李纳-维谢矢势分别以方程表达为

其中,真空电容率是带电粒子的移动速度,

虽然李纳-维谢标势和李纳-维谢矢势的时间参数是,方程右手边的几个变数,带电粒子位置和速度都是采推迟时间时的数值:

推导

推迟势,可以推导出李纳-维谢势。推迟标势推迟矢势分别以方程定义为(参阅推迟势

其中,分别是推迟时刻的电荷密度和电流密度,是积分的体空间,是微小体元素,矢量还是采推迟时间时的数值。

带电粒子运动轨道的电荷密度可以用狄拉克δ函数表达为

其中,是狄拉克δ函数。

代入推迟标势的方程,

由于狄拉克δ函数的积分会从的可能值中,挑选出当时,所有变数的数值。所以,在积分内的变数,都可以被提出积分,采推迟时间时所计算出的数值。积分内,只剩下狄拉克δ函数等待进一步处理:

由于推迟时间跟三个变数有关,这积分比较难计算,需要使用换元积分法[4]。设定变数。那么,其雅可比行列式

行列式内分量很容易计算,例如:

按照上述方法,经过一番计算,可以得到

所以,推迟标势的方程变为

这样,可以得到李纳-维谢标势:

类似地,也可以推导出李纳-维谢矢势。

相对论性导引

从推迟势的表达式可以看出它只依赖于推迟时刻源点的速度,而不依赖于源点的加速度,所以通过电磁势的洛仑兹变换也可以推导出李纳-维谢势。考虑一个在推迟时刻瞬时速度与电荷运动速度相同的惯性系,记作。在系中,电荷在推迟时刻的速度为零(虽然加速度未必为零),其标势应由库仑定律给出,矢势为零。[5][6]:165ff

标势和矢势从系到系的变换满足洛仑兹变换:

其中,洛仑兹因子

代入后可以得到:

的变换关系也由洛仑兹变换给出:

的表达式代入即得到李纳-维谢势。

物理意义

对于固定不动的带电粒子,电势的方程为

这是李纳-维谢标势乘以雅可比行列式因子。追根究柢,原因是移动中的带电粒子,虽然理论上是点粒子,但是由于它是在移动中,在积分里所占有的体积显得比较大,所带的电荷因此比较多,所以产生的电势不同。这也可以看作是一种多普勒效应[5]

移动中的带电粒子的电磁场

从李纳-维谢势,可以计算电场和磁场

求得的电场和磁场分别为[7]

 ;

其中,矢量设定为,带电粒子的加速度

检查电场的方程,右边第一项称为广义库仑场,又称为速度场,因为这项目与加速度无关。当,粒子速度超小于光速时,,这项目会趋向库仑方程

右边第二项称为辐射场,又称为加速度场,因为这项目的物理行为主要是由粒子的加速度决定。这个项目能够描述电磁辐射的生成程序。

参阅

参考文献

  1. ^ Marc Jouguet, La vie et l'oeuvre scientifique de Alfred-Marie Liénard, Exposé fait en séance mensuelle de la Société française des Electriciens, le 4 décembre, 1958 [2009-10-17], (原始内容存档于2009-07-06) 
  2. ^ Mulligan, Joseph F., Emil Wiechert(1861–1928): Esteemed seismologist, forgotten physicist, American Journal of Physics, March, 69 (3): pp. 277–287 
  3. ^ Ribarič, Marijan; Šušteršič, Luka, Expansion in terms of time-dependent, moving charges and currents, SIAM Journal on Applied Mathematics, June, 55 (3): pp. 593–624, doi:10.1137/S0036139992241972 
  4. ^ Griffiths, David; Heald, Mark, Time-Dependent Generalization of the Biot-Savart and Coulomb laws, American Journal of Physics, Feb., 59 (2): pp. 111–117 
  5. ^ 5.0 5.1 俞允强. 《电动力学简明教程》. 北京大学出版社. 1999: p298. 
  6. ^ Bo Thide. Electromagnetic Field Theory. Dover Publications, Incorporated. 2011-03-17 [2016-06-26]. ISBN 978-0-486-47773-2. (原始内容存档于2016-06-10). 
  7. ^ Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 435–440. ISBN 0-13-805326-X. 
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