几何学中,黑塞二十七面体(Hessian polyhedron)是一个复正多面体,其位于希尔伯特空间中由27个莫比乌斯-坎特八边形组成[1],共有27个、72条三元边[注 1]和27个顶点,是一个自身对偶的多面体[注 2][2],其可以视为实数空间的四面体在复数空间中的类比[3]

Quick Facts 类别, 对偶多面体 ...
黑塞二十七面体
Thumb
投影到实二维空间的平行投影
类别复正多面体
对偶多面体黑塞二十七面体(自身对偶)
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
3node_1 3 3node 3 3node 
施莱夫利符号3{3}3{3}3
性质
27个3{3}3
72条3{}英语Trion (geometry)
顶点27
欧拉特征数F=27, E=72, V=27 (χ=-18)
特殊面或截面
皮特里多边形
十二边形
梵奥斯截面
英语Van_Oss_polygon
12个3{4}2
组成与布局
面的种类莫比乌斯-坎特八边形
顶点图3{3}3
边的种类三元棱英语Trion (geometry)
布局矩阵
英语Configuration_(polytope)
对称性
谢泼德群
英语Shephard groups
L3 = 3[3]3[3]3, order 648
特性
Close

由于这种形状与黑塞排布共享复排布英语Complex configuration结构,即12条线上有9个点,每条线上有3个点,每个点上有4条线,因此考克斯特将这种形状以路德维希·奥托·黑塞的名字命名。[5]

黑塞二十七面体是一种位于复数空间的立体,其对应到实数空间同样也有一种实数空间的代表,其为221多胞体英语2_21_polytope,考克斯特表示法计为nodes_10r 3ab nodes split2 node 3 node ,其在六维空间中[1]与黑塞二十七面体共用其27个顶点,其216条边可透过将三元边3{}替换成3条简单边即可于221中被观察到。[6]

性质

黑塞二十七面体由27个全等的莫比乌斯-坎特八边形组成[1],共有27个面、72条边和27个顶点[2],其72条边皆为三元边,每个边皆连接了3个顶点[7];其27个顶点中,每个顶点皆为8个莫比乌斯-坎特八边形的公共顶点,即顶点图莫比乌斯-坎特八边形,换句话说即黑塞二十七面体是一个自身对偶多面体。[注 2][2]

对称性

复镜像群英语Complex reflection group3[3]3[3]33node 3 3node 3 3node 对称性,阶数为648阶[1],这种对称性又可以称为黑塞群英语Hessian group。其在每个顶点有27个3node 3 3node 副本,阶数为24阶,其有24个三阶反射对称性。其考克斯特数为12,且具有基本不变量3,6和12的度数,其可以在多面体的投影对称性中被观察到。[6]

顶点座标

对于λ, μ = 0,1,2,黑塞二十七面体的27个顶点可以在三维的复数空间中给出:[8]

(0,ωλ,−ωμ)
(−ωμ,0,ωλ)
λ,−ωμ,0)

其中.

面的组成

Thumb
黑塞二十七面体,其中一个面以蓝色表示。

黑塞二十七面体由27个全等的莫比乌斯-坎特八边形组成[1]。莫比乌斯-坎特八边形是一种由8个顶点和8条棱所组成的几何结构,其在施莱夫利符号中可以用3{3}3来表示、在考克斯特记号中可以用3node_1 3 3node 来表示。与一般的八边形不同,莫比乌斯-坎特八边形位于希尔伯特平面,且构成这种形状的棱每个棱阶连接了三个顶点,称为三元棱或三元边(Trion),这种几何结构在施莱夫利符号中可以用3{}来表示。[9]

More information 考克斯特平面, B4 ...
莫比乌斯-坎特八边形的正投影图
考克斯特平面 B4 F4
Thumb Thumb Thumb
对称性 [8] [12/3]
Close

正交投影

黑塞二十七面体有8种具有特殊对称性的正交投影。其中重合的顶点以不同颜色表示,其72个三元边被绘制为3条一般的边。其中,第一种代表了E6的考克斯特平面[1]

More information E6 [12], Aut(E6) [18/2] ...
考克斯特平面正交投影
E6
[12]
Aut(E6)
[18/2]
D5
[8]
D4 / A2
[6]
Thumb
(1=红,3=橘)
Thumb
(1)
Thumb
(1,3)
Thumb
(3,9)
B6
[12/2]
A5
[6]
A4
[5]
A3 / D3
[4]
Thumb
(1,3)
Thumb
(1,3)
Thumb
(1,2)
Thumb
(1,4,7)
Close

用途

部分研究中,此形状用于表示标准模型中一些基本粒子的关系[10]

相关多面体及其他几何结构

亚历山大·威廷英语Alexander Witting命名的复空间四维正多胞体——威廷二百四十胞体英语Witting polytope是一种由240个黑塞二十七面体所组成的四维正多胞体,其胞和顶点图皆为黑塞二十七面体。[11]

参见

注释

参考文献

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