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点群

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数学里,点群是指固定一点不动之几何对称等距同构)的

简介

点群存在于任一维度的欧几里得空间中。一个离散之二维点群英语Point groups in two dimensions有时会被称为蔷薇图案群(rosette group),且被用来描述装饰品的对称性。三维点群英语Point groups in three dimensions则大量地被使用于化学之中,尤其是在描述一个分子和形成共价键分子轨道的对称性,且在一些文献中亦会被称成分子点群

在每一个维度里都有着无限多个离散点群。但晶体局限定理说只存在有限多个和平移对称英语Translational symmetry相容的离散点群。在一维里有2个,二维里有10个,三维里则有32个,这些点群称做晶体点群

香港区旗上的洋紫荆有着C5对称;每片花瓣上的星形则有着D5对称。
香港区旗上的洋紫荆有着C5对称;每片花瓣上的星形则有着D5对称。

二维中

二维点群英语Point groups in two dimensions可以分成两个不同的种类,根据其对称性是只有旋转而已,还是亦包括镜射。其循环群Cn(Zn抽象群类型)由360/n度和其整数倍的旋转所构成。例如,有一对称群C4,是由0度、90度、180度及270度等旋转所构成的。正方形的对称群属于二面体群Dn(Dihn抽象群类型)的类型,包含和旋转一样多的镜射。圆的无限旋转对称表示其镜射对称也是无限的,但形式上,圆群S1是不同于Dih(S1)的,因为其明确地包含了镜射。

一个无限群不一定需要是连续的;例如,存在一由360/√2度的整数倍之旋转组成的群,其中并不包含有180度的旋转。

n=1,2,3,4,6的Cn和Dn可以和平移对称相结点,有时还可以以不只一种的方式。因此,这十个群可以产生出17个壁纸群英语Wallpaper group

三维中

更复杂的对称产生于三维之中,详见三维点群英语Point groups in three dimensions

一般性

在任何维数d里,所有可能的定点等距同构之连续群为正交群,标记为O(d);且其所有可能的旋转之连续子群为特殊正交群,标记为SO(d)。这并不是向夫立符号英语Schoenflies notation,而是从李群理论中生出的习惯标记。

另见

外部链接

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