0的0次方

0的0次方（英语：Zero to the power of zero），写作${\displaystyle 0^{0}}$，是极限的不定式之一，在排列组合以及群论中，常用的惯例是定义为1^{[注 1]}，在微积分中则通常没有定义，因为极限${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}}$不存在。而在不同的计算机程序语言中，${\displaystyle 0^{0}}$的表达式也并不相同；如C++将${\displaystyle 0^{0}}$定义为1。

离散指数

许多涉及自然数指数的常用公式中必须将${\displaystyle 0^{0}}$定义为1；例如，下列三个关于${\displaystyle b^{0}}$的解释使b=0的意义与正整数b相同：

• 将${\displaystyle b^{0}}$解释为空乘积
• 将${\displaystyle b^{0}}$组合解释为b元素集合中元素 0 元组的数量；而集合中正好有一个0元组
• 将${\displaystyle b^{0}}$的集合论解释为从空集合到 b 元素集合的函数数量； 这样的函数只有一个，就是空函数。

以上三种解释均得出${\displaystyle b^{0}}$=1。

定义的需求

微分式：${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}}$在x=0，n=1的时候将无法作用，除非${\displaystyle 0^{0}=1}$，另外，如果不定义${\displaystyle 0^{0}}$，就无法处理二项式定理${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$，因为${\displaystyle 0^{0}=(1-1)^{0}={\binom {0}{0}}1^{0}(-1)^{0}=1}$。

在多项式函数中把常数项视为零次项，可将多项式函数化简为

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}}$

则${\displaystyle f(0)=c_{0}0^{0}}$

也必须用到${\displaystyle 0^{0}=1}$

函数z=x^y在(x,y)=(0,0)附近的图形

注释

1. 因为a⁰是空乘积，不管数字a是多少，包括0，而空乘积的值为1（空和的值为0）