在数学 中,1 − 2 + 3 − 4 + … 表示以由小到大的接续正整数 ,依次加后又减、减后又加,如此反复所构成的无穷级数 。它是交错级数 ,若以Σ符号 表示前m 项之和,可写作:
∑
n
=
1
m
n
(
−
1
)
n
−
1
{\displaystyle \sum _{n=1}^{m}n(-1)^{n-1}}
1 − 2 + 3 − 4 + …的前一万五千项 相加 结果示意图
此无穷级数发散 ,即其部分和 的序列(1, −1, 2, −2, …) 不会趋近于任一有穷极限。也就是说,单从极限 的角度看的话,1 − 2 + 3 − 4 + … 不存在和。不过,在18世纪中期,莱昂哈德·欧拉 写出了一个他承认为悖论 的等式 :
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
=
1
4
{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}}
该等式的严谨 解释在很久以后才出现。自1890年起,恩纳斯托·切萨罗 、埃米尔·博雷尔 与其他一些数学家就在研究有哪些定义良好 的方法,可以给发散级数赋予广义和[ 注 1] ——其中包含了对欧拉结果的新解释。这些求和法大部分可简单地指定1 − 2 + 3 − 4 + … 的“和”为1 ⁄4 。切萨罗求和 是少数几种不能计算出1 − 2 + 3 − 4 + … 之和的方法,因为此级数求和需要某个略强的方法——譬如阿贝耳求和 。
级数1 − 2 + 3 − 4 + … 与格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 有紧密的联系。欧拉将这两个级数当作1 − 2n + 3n − 4n + … 的特例(其中n为任意自然数),这个级数既直接扩展了他在巴塞尔问题 上所做的工作,同时也引出了我们现在所知的狄利克雷η函数 和黎曼ζ函数 。
级数项(1, −2, 3, −4, …)不趋近于0 ,因此通过项测试 便可确定1 − 2 + 3 − 4 + … 发散。不过作为后文的参考,此处也以基础的方法去证明此级数发散。首先,从定义可知,无穷级数的敛散性 是由其部分和的敛散性所确定的,1 − 2 + 3 − 4 + … 的部分和为:[ 1]
1 = 1 ,
1 − 2 = −1 ,
1 − 2 + 3 = 2 ,
1 − 2 + 3 − 4 = −2 ,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3 ,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3 ,
…
此部分和序列的一个显著特点是每个整数都恰好出现一次——如果将空部分和计入还包括0——因此它还说明了整数集
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
是可数 的。[ 2] 很明显的,不可能让变化的结果收敛到一个确定的数[ 注 2] ,因此1 − 2 + 3 − 4 + … 发散。
由于各项 1, −2, 3, −4, 5, −6, … 以一种简单模式排列,级数1 − 2 + 3 − 4 + … 可以透过移项以及逐项求和,再透过解方程 得出一数值。暂时假设s = 1 − 2 + 3 − 4 + … 这样的写法有意义——其中的s 为常数,那么以下的计算将说明s = 1 ⁄4 :
4
s
=
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
+
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
+
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
+
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
=
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
+
1
+
(
−
2
+
3
−
4
+
5
⋯
)
+
1
+
(
−
2
+
3
−
4
+
5
⋯
)
−
1
+
(
3
−
4
+
5
−
6
+
⋯
)
=
1
+
[
(
1
−
2
−
2
+
3
)
+
(
−
2
+
3
+
3
−
4
)
+
(
3
−
4
−
4
+
5
)
+
(
−
4
+
5
+
5
−
6
)
+
⋯
]
=
1
+
[
0
+
0
+
0
+
0
⋯
]
4
s
=
1
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}4s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )&+\ \ \;\;\,&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,\\\\\ &=&\!&({\color {Blue}\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Red}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&+\,1\,+&({\color {Purple}\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,5\,\cdots })&-\,1\,+&({\color {OliveGreen}\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,6\,+\,\cdots })\quad \,\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,(\,{\color {Blue}1}\,{\color {Red}-\,2}\,{\color {Purple}-\,2}\,{\color {OliveGreen}+\,3}\,)\quad &+\ \ \;\;\,&(\,{-\,\color {Blue}2}\,{\color {Red}+\,3}\,{\color {Purple}+\,3}\,{\color {OliveGreen}-\,4}\,)\;\;\;\,&+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}3}\,{\color {Red}-\,4}\,{\color {Purple}-\,4}\,{\color {OliveGreen}+\,5}\,)\ \quad &+\ \ \;\;\,&(\,{\color {Blue}-\,4}\,{\color {Red}+\,5}\,{\color {Purple}+\,5}\,{\color {OliveGreen}-\,6}\,)\,+\,\cdots ]\\\\\ &=&\ 1\,+&[\,0\,+\,0\,+\,0\,+\,0\,\cdots ]\ \;\\4s\ &=&\ 1\ \,\;\end{smallmatrix}}}
因此,s = 1 ⁄4 [ 3] ,如右图所示。
白球代表+1,红球代表-1;把白球和红球连起来,即是代表它们正负相消并等于0。如图所示,复制4份1 − 2 + 3 − 4 + … ,仅使用移项与逐项相加,结果为1。而单看左或右其中一边的话,则是两个1 − 2 + 3 − 4 + … 副本加起来,经抵消后得出1 − 1 + 1 − 1 + … 。
尽管1 − 2 + 3 − 4 + …没有通常意义的和,等式s = 1 − 2 + 3 − 4 + … = 1 ⁄4 却可被赋予另外一种意义。发散级数之“和”的一种普遍 定义被称为一种求和法 或可和法 ——通常是对于符合特定条件的一类级数可求和。求和法有许多种(部分将在下文 中有所描述),这些方法跟普通求和也许有着一些共同的特性,例如:
线性 :设A Σ 为一种级数求和法。如果对于A Σ 可定义其上的那些序列,A Σ 是个线性泛函 的话,则简单地称A Σ 是线性的。也就是说,对于序列r , s 和标量k ,有A Σ (k r +s )=k A Σ (r )+A Σ (s )。
稳定性 :如果a 是一个初项为a 0 的序列,设a * 为a 去掉初项后的序列,即对于一切n有a * n =an+1 ,那么A Σ (a )有定义当且仅当 A Σ (a * )有定义。而且,A Σ (a )=a 0 + A Σ (a * )。
因此,以上的计算实际上证明的是下面的内容:给出任意的线性且稳定 的可和法,并能对级数1 − 2 + 3 − 4 + … 求和,则结果必为1 ⁄4 。此外,由于:
2
s
=
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
+
(
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
=
1
+
(
−
2
+
3
−
4
+
⋯
)
+
1
−
2
+
(
3
−
4
+
5
−
⋯
)
=
0
+
(
(
−
2
+
3
)
+
(
3
−
4
)
+
(
−
4
+
5
)
+
(
5
−
6
)
+
⋯
)
1
2
=
1
−
1
+
1
−
1
⋯
{\displaystyle {\begin{smallmatrix}2s&=&\!&(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\;\;\;&+\quad \quad \ &(\,1\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \;\;\;\;\;\\\\\ &=&1\,+&(\,-\,2\,+\,3\,-\,4\,+\,\cdots )\quad \,&+\,1\,-\,2\,+&(\,3\,-\,4\,+\,5\,-\,\cdots )\qquad \ \;\;\;\;\,\\\\\ &=&0\,+&(\,(\,-\,2\,+\,3\,)\,+\,(\,3\,-\,4\,)&+\quad \quad \ &(\,-\,4\,+\,5\,)\,+\,(\,5\,-\,6\,)\,+\,\cdots )\\\\{\frac {1}{2}}&=&\!&\ \ \ 1\,\quad -\quad 1&+\quad \quad \ &\ \;1\quad -\quad 1\quad \cdots \end{smallmatrix}}}
故此方法也一定能对格兰迪级数 求和,并得结果为
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
=
1
2
{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}}
1891年,恩纳斯托·切萨罗 在他的一篇论文中指出有可能将发散级数 严谨地纳入微积分学 ,并写道:
已可写出
(
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
)
2
=
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
{\displaystyle (1-1+1-1+\cdots )^{2}=1-2+3-4+\cdots }
并断定两边均等于1 ⁄4 。[ 4]
对切萨罗而言,这个等式是他前一年发表的一个定理的应用,该定理可说是在历史上关于可求和发散级数的第一个定理。关于此求和法的详细内容请见下文 ;其中心思想是:1 − 2 + 3 − 4 + … 是1 − 1 + 1 − 1 + … 对1 − 1 + 1 − 1 + … 的柯西乘积 。
1 − 2 + 3 − 4 + … 以 1 − 1 + 1 − 1 + … 的双重柯西乘积表示
两个无穷级数的柯西乘积可被定义,即使在它们都发散的时候。例如,若Σa n = Σb n = Σ(−1)n ,柯西乘积的项由有穷对角线求和的方式给出:
c
n
=
∑
k
=
0
n
a
k
b
n
−
k
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
k
(
−
1
)
n
−
k
=
∑
k
=
0
n
(
−
1
)
n
=
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c_{n}&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}(-1)^{n-k}\\[1em]&=&\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-1)^{n}=(-1)^{n}(n+1)\end{array}}}
积级数为:
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
=
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}(n+1)=1-2+3-4+\cdots }
所以,如果有一种求和法可以保持两个级数的柯西乘积,并能得出
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
=
1
2
{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\tfrac {1}{2}}}
的结果,那么它也能够求出
1
−
2
+
3
−
4
+
⋯
=
1
4
{\displaystyle 1-2+3-4+\cdots ={\tfrac {1}{4}}}
。由前一节的结果可知,当方法是线性、稳定并保持柯西乘积的时候,1 − 1 + 1 − 1 + … 与1 − 2 + 3 − 4 + … 的可求和之间是等价的。
切萨罗的定理是一个微妙的例子。级数1 − 1 + 1 − 1 + … 在最弱的意义上是切萨罗可求和,称作(C, 1)-可求和 ,然而1 − 2 + 3 − 4 + … 则需要切萨罗的定理的一个更强的形式[ 5] ,它是(C, 2)-可求和 的。由于切萨罗的定理的所有形式均为线性且稳定的,所得的值正是此前计算所得的。
关于1 ⁄4 的(H, 2)和的数据
若1 − 2 + 3 − 4 + …的(C, 1)切萨罗和 存在,要找到其数值就需要计算该级数部分和的算术平均值 。[ 6]
部分和为:
1, −1, 2, −2, 3, −3, …,
这些部分和的算术平均值为:
1, 0,2 ⁄3 , 0,3 ⁄5 , 0,4 ⁄7 , ….
此平均值序列不收敛,因此1 − 2 + 3 − 4 + … 不是切萨罗可求和。
切萨罗求和有两种有名的广义化:让这些在概念上更简单的是(H, n )法的序列,其中n 为自然数 。(H, 1)和为切萨罗求和,更高的方法则重复平均值的计算。在上文中,偶数项平均值趋近于1 ⁄2 ,奇数项平均值则全部等于0,所以平均值的 平均值趋近于 0 与1 ⁄2 的平均数,即1 ⁄4 。[ 7] 因此,1 − 2 + 3 − 4 + … 是(H, 2)-可求和,其值为1 ⁄4 。
符号“H”代表奥图·赫尔德 。1882年,他第一次证明了被现在数学家们所看作的在阿贝耳求和 与(H, n )求和之间的关系;-1 + 2 − 3 + 4 − … 是他给的第一个例子[ 8] 。1 ⁄4 是1 − 2 + 3 − 4 + … 的(H, 2)和这个事实也保证了它是阿贝耳和;这些都将在下文直接予以证明。
另外一个常用的切萨罗求和的广义化,是(C, n )法的序列。已经证明了(C, n )求和与(H, n )求和均能给出相同的结果,但是它们却有不同的历史背景。在1887年,切萨罗已经接近于陈述出(C, n )求和的定义了,但是他只给出了少量的例子。特别的,他在计算1 − 2 + 3 − 4 + … 为1 ⁄4 时所采用的方法可能是(C, n )的另一种描述,但是在当时并没有对其进行证明。他在1890年正式定义了(C, n )法,以陈述他的定理:一个(C, n )-可求和级数与一个(C, m )-可求和级数的柯西乘积是(C, m + n + 1)-可求和。[ 9]
1−2x +3x 2 +…的一些部分和(绿色、蓝色和黑色曲线);1/(1 + x )2 (近中间的紫色曲线) ;以及在x 趋近于1时的极限(以点标示)
在一份1749年的报告中,莱昂哈德·欧拉 承认级数1 − 2 + 3 − 4 + … 是发散的,但还是决定要对其求和:
……当说该级数1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 …的和为1 ⁄4 时,那肯定看起来是悖论。因为对该级数的100项相加,我们得到了-50,但是,101项的和却给出+51,这与1 ⁄4 是截然不同的,而且这种差距还会随着项数增加而变得更大。不过我在前一段时间已经注意到了,有必要给“和”这个词赋予一个更加广泛的意义……。 [ 10]
欧拉曾几次提议将“和”这个词广义化。在1 − 2 + 3 − 4 + … 的情况下,他的设想与现在所知的阿贝耳求和 相似:
……毫无疑问,级数1 − 2 + 3 − 4 + 5 + …的和为1 ⁄4 ;由于它是由公式1 ⁄(1+1)2 展开而成,而此公式的值明显为1 ⁄4 。在考虑一般级数1 − 2x + 3x 2 − 4x 3 + 5x 4 − 6x 5 + … 后这个概念变得更明晰了。这个一般级数是由表达式1 ⁄(1+x )2 展开而成,当我们让 x = 1 后,这个级数就确确实实地相等了。 [ 11]
至少在当绝对值 |x | < 1 时,有许多方式去验证欧拉的下列等式正确:
1
−
2
x
+
3
x
2
−
4
x
3
+
⋯
=
1
(
1
+
x
)
2
{\displaystyle 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots ={\frac {1}{(1+x)^{2}}}}
可以对右边作泰勒展开 ,或使用正规的多项式长除 。从左方开始,可采用上文的一般启发式,并尝试乘以两次(1+x ),或对几何级数1 − x + x 2 − … 求平方。欧拉似乎也提出可以对后者级数的每项求导 。[ 12]
以现代的观点看,级数 1 − 2x + 3x 2 − 4x 3 + … 并没有定义一个在x = 1 时的函数 ,因此不能简单地把值代入到其相应的表达式。不过由于此级数在|x | < 1 时定义了一个函数,所以仍可取x 趋近于1时的极限,而这就是阿贝耳和的定义:[ 6]
lim
x
→
1
−
∑
n
=
1
∞
n
(
−
x
)
n
−
1
=
lim
x
→
1
−
1
(
1
+
x
)
2
=
1
4
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=1}^{\infty }n(-x)^{n-1}=\lim _{x\rightarrow 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}}
1 ⁄2 −1 ⁄4 的欧拉求和
欧拉对该级数还使用了另外一种技巧:欧拉变换 ,这是他自己的发明。要计算欧拉变换,首先要有可形成交错级数的正项序列——在此情况下为1, 2, 3, 4, … 。将此序列中的首项标示为 a 0 。
下一步需要1, 2, 3, 4, … 的前向差分 序列;这恰好是1, 1, 1, 1, … 。将该序列的首项标示为 Δa 0 。欧拉变换也基于差分的差分,以及更高的迭代,但是在1, 1, 1, 1, … 各项之间的前向差分均为0。1 − 2 + 3 − 4 + … 的欧拉变换便可定义为:
1
2
a
0
−
1
4
Δ
a
0
+
1
8
Δ
2
a
0
−
⋯
=
1
2
−
1
4
{\displaystyle {\frac {1}{2}}a_{0}-{\frac {1}{4}}\Delta a_{0}+{\frac {1}{8}}\Delta ^{2}a_{0}-\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}
用现代术语来说,1 − 2 + 3 − 4 + … 是欧拉可求和 且其值为1 ⁄4 。
欧拉可求和也蕴涵了另一种可求和性。将1 − 2 + 3 − 4 + … 表示为:
∑
k
=
0
∞
a
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}(k+1)}
就有了相关的处处收敛级数:
a
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
k
+
1
)
x
k
k
!
=
e
−
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle a(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(k+1)x^{k}}{k!}}=e^{-x}(1-x)}
因此 1 − 2 + 3 − 4 + … 的波莱尔和 为:[ 13]
∫
0
∞
e
−
x
a
(
x
)
d
x
=
∫
0
∞
e
−
2
x
(
1
−
x
)
d
x
=
1
2
−
1
4
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}a(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}(1-x)\,dx={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}}
赛切夫与Woyczyński只通过两个物理原理便得出了1 − 2 + 3 − 4 + … =1 ⁄4 ,这两个原理分别是:无穷小松弛(infinitesimal relaxation )与尺度分离(separation of scales )。为求表达准确,这些原理促使了他们去定义一系列的“φ -求和法”,所有这些方法都可以将级数求和得1 ⁄4 :
如果φ(x )是一个函数,其一、二阶导数在(0, ∞)上是连续且可积的,有φ(0) = 1 ,并且φ(x )与x φ(x )在+∞时的极限均为0,则:[ 14]
lim
δ
↓
0
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
(
m
+
1
)
φ
(
δ
m
)
=
1
4
{\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{m=0}^{\infty }(-1)^{m}(m+1)\varphi (\delta m)={\frac {1}{4}}}
该结果推广了阿贝耳求和,当取φ (x ) = exp(−x )时可得到先前的等式。此一般陈述可通过将关于m 的级数中的项配对,并将表达式变换为黎曼积分 的形式予以证明。在后一步中,对1 − 1 + 1 − 1 + … 的相应证明 运用了中值定理 ,但在这里需要泰勒公式 中更强的拉格朗日形式 。
1755年的《Institutiones 》上,欧拉对相似的级数求和
1 − 1 + 1 − 1 + … 的三重柯西乘积为1 − 3 + 6 − 10 + … ,为三角形数 的交错级数;其阿贝耳与欧拉和为1 ⁄8 。[ 15] 1 − 1 + 1 − 1 + … 的四重柯西乘积为1 − 4 + 10 − 20 + … ,为四面体数 的交错级数,其阿贝耳和为1 ⁄16 。
另一个1 − 2 + 3 − 4 + … 在略微不同的方向的广义化是一般级数1 − 2n + 3n − 4n + … 。对正整数n 来说,此级数有下列的阿贝耳和:[ 16]
1
−
2
n
+
3
n
−
⋯
=
2
n
+
1
−
1
n
+
1
B
n
+
1
{\displaystyle 1-2^{n}+3^{n}-\cdots ={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}}B_{n+1}}
其中B n 是伯努利数 。对大于0的偶数n ,则化约为:
1
−
2
2
k
+
3
2
k
−
⋯
=
0
{\displaystyle 1-2^{2k}+3^{2k}-\cdots =0}
后一个和成为尼尔斯·亨利克·阿贝尔 特别嘲笑的对象,在1826年时他说:
“发散级数纯粹是魔鬼的工作,胆敢去找到任何证明它们的行为都是羞耻的。如果用到它们,可以从中获得想要的东西;同时也是它们,制造了如此多的不愉快与如此多的悖论。试问能想到比下面内容更令人惊恐的东西吗:
0 = 1 − 2n + 3n − 4n + etc.
其中,n 为正数。这是一个笑料,朋友。”[ 17]
切萨罗的老师欧仁·查理·卡塔兰 也轻视发散级数。在卡塔兰的影响下,切萨罗早期提出1 − 2n + 3n − 4n + … 的“习用式”是“荒谬的等式”;而在1883年,切萨罗表明了当时的一个典型看法:这些公式是错的,不过在某些场合在形式上是有用的。最后,在他1890年的书《Sur la multiplication des séries 》中,切萨罗从定义开始采用了一个现代的做法。[ 18]
此级数在n 为非整数值的情况亦有所研究;这产生了狄利克雷η函数。欧拉研究1 − 2 + 3 − 4 + … 相关级数的部分动机是η函数的函数方程 ,这直接导向了黎曼ζ函数 的函数方程。欧拉在正偶数 (包括在巴塞尔问题 中)时找到这些函数值的建树已让他闻名,他也试图找到正奇数 (包括在阿培里常数 中)时的值,但这个问题直到今天仍是难以解决的。η函数通过欧拉的方法解决会比较简单,因为它的狄利克雷级数 是处处阿贝耳可求和;而ζ函数的狄利克雷级数则非常难以对发散的部分求和。[ 19] 例如,1 − 2 + 3 − 4 + … 在η函数中的相似级数是非交错级数1 + 2 + 3 + 4 + … ,该级数在现代物理学 上有很深的应用,不过需要非常强的方法才能求和。
“广义和”是指利用一些特殊的方式,计算发散级数的“和”,由于发散级数不会有一般定义下的和,因此称为广义和。
假定有这样的极限值x ,则总可能找到某个项,使得在其之后的所有项都在区间[x -1, x +1]之外,从而得出矛盾。
Hardy (p.6) 结合格兰迪级数 1 − 1 + 1 − 1 + … 的计算提出了此推导过程。
"One already writes(1 − 1 + 1 − 1 + …)2 = 1 − 2 + 3 − 4 + … and asserts that both the sides are equal to
s
=
1
4
{\displaystyle s={\begin{matrix}{\frac {1}{4}}\end{matrix}}}
.", Ferraro, p.130.
Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
Hardy, p.9. 要了解详细的计算过程,参看 Weidlich, pp.17–18.
Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro批评了Tucciarone对赫尔德他自己对一般结论的看法的解释(p.7),不过在赫尔德对-1 + 2 − 3 + 4 − … 的处理方式上,两位作者的解释是相似的。
Euler et al, p.2. 虽然这篇文章写于1749年,但直到1768年才发表。
Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
Knopp, p.491; 在 Hardy, p.3. 中的这一点有误
Grattan-Guinness, p.80. 参看 Markushevich, p.48, 另一个法语 转译版本;保留了原有的语调。
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