在数学中,“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”这个无穷级数是绝对收敛的交错级数中的一个较为简单的例子。
因为“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”是一个首项为1/2、公比为−1/2的几何级数,所以将它求和有:
哈肯布什游戏及超现实数
对该级数进行简单的移项后有:
上一步得到的级数由一个正整数加上一组或正或负的1/2的幂组成,所以它可以被转化为代表超现实数1/3的无限的蓝-红Hackenbush串(blue-red Hackenbush string):
- LRRLRLR… = 1/3.[1]
简化后的Hackenbush串消去了重复的“R”:
- LRLRLRL… = 2/3.[2]
相关级数
- “1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · 是绝对收敛的。”这样的陈述意味着级数“1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + · · ·”是收敛的。事实上,后者收敛得到1,而且它证明了1进行二进制扩展(binary expansion)后得到的是0.111…。
- 将级数“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · · ”各项按顺序从左至右两两相加,会得到另一个具有同样的和的几何级数,“1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · ·”。这是数学史上第一个被求和的级数;它曾被阿基米德于公元前约250~200年使用过。[3]
- 发散级数“1 − 2 + 4 − 8 + · · ·”的欧拉变换是“1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + · · ·”,因此,虽然前者并不具有通常意义上的和,但它的欧拉求和的结果也是1/3。[4]
注释
参考
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