1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯维基百科,自由的 encyclopedia 是被欧拉首次研究,他应用重求和方法给级数赋予一个有限的值[1]。此级数是被交替加减的阶乘之总和。要给发散级数赋值,其中一个方法是用博雷尔和,其型式上写成: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∫ 0 ∞ x k exp ( − x ) d x {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx} 数学上,发散级数: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!} 若我们对总和和积分进行转乘(忽略两者其实都是不收敛的),将得到: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! = ∫ 0 ∞ [ ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k ] exp ( − x ) d x {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx} 在中括号中的总和收敛,并等于1/(1 + x),若x < 1。若我们继续对所有实数x分析1/(1 + x),可以得到收敛积分的总和: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! = ∫ 0 ∞ exp ( − x ) 1 + x d x = e E 1 ( 1 ) ≈ 0.596347362323194074341078499369 … {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots } 此处的 E 1 ( z ) {\displaystyle E_{1}(z)} 是指数积分。这是根据博雷尔和对级数的定义。
是被欧拉首次研究,他应用重求和方法给级数赋予一个有限的值[1]。此级数是被交替加减的阶乘之总和。要给发散级数赋值,其中一个方法是用博雷尔和,其型式上写成: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ∫ 0 ∞ x k exp ( − x ) d x {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k}\exp(-x)\,dx} 数学上,发散级数: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!} 若我们对总和和积分进行转乘(忽略两者其实都是不收敛的),将得到: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! = ∫ 0 ∞ [ ∑ k = 0 ∞ ( − x ) k ] exp ( − x ) d x {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }\left[\sum _{k=0}^{\infty }(-x)^{k}\right]\exp(-x)\,dx} 在中括号中的总和收敛,并等于1/(1 + x),若x < 1。若我们继续对所有实数x分析1/(1 + x),可以得到收敛积分的总和: ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k k ! = ∫ 0 ∞ exp ( − x ) 1 + x d x = e E 1 ( 1 ) ≈ 0.596347362323194074341078499369 … {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}k!=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x)}{1+x}}\,dx=eE_{1}(1)\approx 0.596347362323194074341078499369\ldots } 此处的 E 1 ( z ) {\displaystyle E_{1}(z)} 是指数积分。这是根据博雷尔和对级数的定义。