2的算术平方根 - Wikiwand
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2的算术平方根

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无理数
√2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π


二进制 1.0110101000001001111...
十进制 1.4142135623730950488...
十六进制 1.6A09E667F3BCC908B2F...
连续分数

2的算术平方根,俗称“根号2”,记作,可能是最早被发现的无理数。相传毕达哥拉斯学派希帕索斯首先提出了“不是有理数”的命题:若一个直角三角形的两个直角边都是1,那么它的斜边长,无法用整数分数表示。

其最初65位为

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799OEIS中的数列A002193

是无理数的证明

人们发现了许多方法证明是无理数。以下是反证法的证明

常见的证明

  1. 假设是有理数,即有整数,使得
  2. 重写成最简分数,即互素,且
  3. 所以,即
  4. 因为必为偶数,故亦是偶数
  5. 为偶数(奇数平方不会是偶数)
  6. 所以必有一整数,使得
  7. 将(3)的式子代入(6):
  8. 化简得
  9. 因为是偶数,所以是偶数,亦是偶数
  10. 所以都是偶数,跟是最简分数的假设矛盾
  11. 因为导出矛盾,所以(1)的假设错误,不是有理数,即是无理数

这个证明可推广至证明任何非完全平方数正整数n,其算术平方根为无理数。

另一个证明

另外一个是无理数的反证法证明较少为人所知,但证明方法也相当漂亮:

  1. 假设是有理数,便可以表示成最简分数,其中,为正整数
  2. 由于,所以
  3. 因为
  4. 所以
  5. 是比更简的分数,与是最简分数的假设矛盾

从一个直角边为,斜边为等腰直角三角形,可以用尺规作图作出直角边为,斜边为的等腰直角三角形。这是古希腊几何学家的作图证明方法。

性质

2的算术平方根可以表示为以下的级数无穷乘积

2的算术平方根的连分数展开式为:

参见

外部链接

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2的算术平方根
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