2i进制 - Wikiwand
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2i进制

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2i进制,是由高德纳于1995年提出来的,当时用作高中科学精英研究用。它是一种以2i基数的非标准进位制。这种进制以0、1、2、3为基本数码[1],能够独一无二的表示全体复数

转换2i进制到十进制

k (2i)k
-5 −1/32i
-4 1/16
-3 1/8i
-2 −1/4
-1 −1/2i
0 1
1 2i
2 −4
3 −8i
4 16
5 32i
6 −64
7 −128i
8 256
Powers of 2i

将2i进制转换为十进制可以用标准公式. 这个公式是


进制数 的十进制数为


2i进制中, .

示例

转换为十进制, 可按照上述公式填入相应数字:

再比如: 十进制是

十进制转换到2i进制

也能将十进制数转换为2i进制. 每个复数(形如a+bi) 都有个2i进制形式. 大多十进制数都只有1个形式,但像1这样的数在十进制中有两种形式1.0 = 0.9 , 相对应的 1/5有两种2i进制形式:1.03002i = 0.00032i.

要转换十进制数, 先将实部虚部分别转换为2i进制数,然后加到一起即可。 比如, –1+4i 等于–1 加上 4i, -1的2i进制数是103, 4i的2i进制数是20,因此 –1+4i = 1232i.

转换虚部时,可以先乘以2i, 得到一个实数;然后将这个实数转换为2i进制,然后右移一位即可 (等效于除以 2i). 例如, 虚部是 6i,先将6i 乘以2i 得到 –12, 化为2i进制是3002i, 然后右移一位, 得到: 6i = 302i.

转换实数,可以用方程组来求解。

示例:实数

我们来求解7的2i进制数。我们很难知道这个2i进制数有多长,所以我们先假设一个比较长的数. 我们先选六位试试,如果不够,我们再延长。 我们写出公式,然后分组:

7是实数, 因此d1, d3d5 是0。 剩下就是系数d0, d2d4。 因为 d0 − 4 d2 + 16 d4 = 7 并且他们只能是 0, 1, 2 or 3 。可能的结果是: d0 = 3, d2 = 3 , d4 = 1. 这样就找到了710的2i进制数.

示例: 虚数

找一个纯虚数的2i进制数,可以模拟实数的方法. 例如6i, 也可以用公式。实部全为零,虚部化为6. 6i 很容易看出 d1 = 3 其他各位都是0。6i就是:

小数点“.”

十进制中小数点用来区分整数部分和小数部分。2i进制中小数点一样可以用,比如 中,小数点用来分割b的正数和负数幂。带小数点时,公式是:

示例

将i转换为2i进制,没有小数点的话,可能没办法做到。因此:

实部为0; d4 = d2 = d0 = d-2 = 0. 虚部, 当 d5 = d3 = d -3 = 0 并且 当 d1=1d-1=2 时结果正确。所以

.

示例(分数)

转换为2i进制,其结果为-0.0203

加减法

2i进制也可以做加减法. 首先要记住以下规则:

  1. 数字超过3时, 4 "进" −1 到左边第二位。
  2. 数字小于0时, 4"进" +1 到左边第二位。

简单的说: "加四进一、减四借一"(当作四进制来计算). 和一般竖式加法不同的是,要借/进到左边第二位。

示例:加法

   1 - 2i                1031             3 - 4i                 1023
   1 - 2i                1031             1 - 8i                 1001
   ------- +     <=>     ----- +          ------- +      <=>     ----- +
   2 - 4i                1022             4 - 12i               12320

第一个例子,先是1+1=2。然后是3+3=6,6比3大,我们得减4借1。接着是0+0=0。然后是1+1=2,在减去借的1。得1。

第二个例子,先是3+1=4; 4 比3大,我们得减4借1。然后是2+0=2。 接着是0+0=0,再减去借位1,得-1,小于0,我们得加四进一。 然后是1+1=2; 最后是进位1。我们得到结果.

示例:减法

减法和加法类似。下面是例子:

         - 2 - 8i                       1102
           1 - 6i                       1011  
           ------- -         <=>        ----- -
         - 3 - 2i                       1131

这个例子中,先是2-1 = 1。 然后是0-1=-1,小于0,加4进1得3;接着是1-0=1。然后是1-1=0,加上进位得1。 结果就是 .

乘法

乘法也要用到上面两点。先逐位相乘,然后叠加。比如:

             11201
             20121  x
             --------
             11201      <--- 1 x 11201
            12002       <--- 2 x 11201
           11201        <--- 1 x 11201
          00000         <--- 0 x 11201
         12002      +   <--- 2 x 11201
         ------------
         120231321

也就是 .

查表转换

下面是一个常用的复数对照表。我们可以用叠加的方法来转换复数

示例

参见

参考资料

  • D. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Edition. Addison-Wesley. pp. 205, "Positional Number Systems"
  • ^ Donald Knuth. An imaginary number system. Communications of the ACM. April 1960, 3 (4). 
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