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AKS素性测试

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AKS素性测试(又被称为Agrawal–Kayal–Saxena素性测试Cyclotomic AKS test)是一个决定型素性测试算法 ,由三个来自印度坎普尔理工学院英语Indian Institute of Technology Kanpur的电脑科学家,Manindra Agrawal英语Manindra AgrawalNeeraj Kayal英语Neeraj KayalNitin Saxena英语Nitin Saxena,在2002年8月6日发表于一篇题为素数属于P的论文。[1]作者们因此获得了许多奖项,包含了2006年的哥德尔奖和2006年的富尔克森奖。这个算法可以在多项式时间之内,决定一个给定整数是素数或者合数

重要性

AKS最关键的重要性在于它是第一个被发表的一般的多项式的确定性的无仰赖的素数判定算法。先前的算法至多达到了其中三点,但从未达到全部四个。

  • AKS算法可以被用于检测任何一般的给定数字是否为素数。很多已知的高速判定算法只适用于满足特定条件的素数。例如,卢卡斯-莱默检验法仅对梅森素数适用,而Pépin测试英语Pépin's test仅对费马数适用。
  • 算法的最长运行时间可以被表为一个目标数字长度的多项式。ECPP和APR能够判断一个给定数字是否为素数,但无法对所有输入给出多项式时间范围。
  • 算法可以确定性地判断一个给定数字是否为素数。随机测试算法,例如米勒-拉宾检验和Baillie–PSW,可以在多项式时间内对给定数字进行校验,但只能给出概率性的结果。
  • AKS算法并未“仰赖”任何未证明猜想。一个反例是确定性米勒检验:该算法可以在多项式时间内对所有输入给出确定性结果,但其正确性却基于尚未被证明的广义黎曼猜想

概念

AKS素性测试主要是基于以下定理:整数n (≥ 2)是素数,当且仅当

 

 

 

 

(1)

这个同余多项式对所有与n互素的整数a均成立。 这个定理是费马小定理的一般化,并且可以简单的使用二项式定理二项式系数的这个特征:

,对任何 ,当且仅当 n 是素数

来证明出此定理。

虽然说关系式 (1) 基本上构成了整个素性测试,但是验证花费的时间却是指数时间。因此,为了减少计算复杂度,AKS改为使用以下的同余多项式:

 

 

 

 

(2)

这个多项式与存在多项式fg,令:

 

 

 

 

(3)

意义是等同的。

这个同余式可以在多项式时间之内检查完毕。这里我们要注意所有的素数必定满足此条件式(令g = 0则 (3) 等于 (1),因此符合n必定是素数)。 然而,有一些合数也会满足这个条件式。有关AKS正确性的证明包含了推导出存在一个够小的r以及一个够小的整数集合A,令如果此同余式对所有A里面的整数都满足,则n必定为素数。

历史以及运算时间

在上文引用的论文的第一版本中,作者们证明了算法的渐近时间为O。换言之,算法使用少于n二进制数字长度的十二次方。但是,论文证明的时间上界却过于宽松;事实上,一个被普遍相信的关于索菲热尔曼素数分布的假设如果为真,则会立即将最坏情况减至O

在这一发现后的几个月中,新的变体陆续出现(Lenstra 2002, Pomerance 2002, Berrizbeitia 2003, Cheng 2003, Bernstein 2003a/b, Lenstra和Pomerance 2003)并依次提高了算法的速度(以改进幅度为序)。由于这些变体的出现,Crandall和Papadopoulos在其科学论文“AKS-类素性测试的实现”(2003年三月发表)中将其称为算法的“AKS-类”。

出于对这些变体和其他回复的回应,论文“素数属于P”稍后被进行了更新,新版本包括了一个AKS算法的正规公式化表述和其正确性证明。(这一版本在数学年刊上发表。)虽然基本思想没有变化,却被采用了新方法进行选择,而正确性证明也变得更加紧致有序。与旧证明依赖于许多不同的方法不同,新版本几乎只依赖于有限域上的分圆多项式的特征。新版本同时也优化了时间复杂度的边界到O。通过筛法获得的其他结果可以将其进一步简化到O

在2005年,Carl Pomerance和H. W. Lenstra, Jr.展示了一个AKS的变体,可以在次操作内完成测试(是被测试数)。对于原算法的边界而言,这是一个显著的改进。[2]

算法

整个算法的操作如下:[1]

输入:整数 n > 1
  1. 若存在整数a > 0 且b > 1 ,令 n = ab ;则输出合数
  2. 找出最小的 rordr(n) > log2(n).
  3. 若 对某些ar,1 < gcd(a,n) < n,输出合数。(gcd是指最大公约数)。
  4. nr, 输出素数
  5. a = 1 到 的所有数,
    如果 (X+a)nXn+a (mod Xr − 1,n), 输出合数
  6. 输出 素数

这里的 ordr(n)是n mod r的阶。 另外,这里的log 代表以二为底的对数,则是r欧拉函数

下面说明若n是个素数,那么算法总是会返回素数:由于n是素数,步骤1和3永远不会返回合数。步骤5也不会返回合数,因为(2)对所有素数n为真。因此,算法一定会在步骤4或6返回素数

对应地,如果n是合数,那么算法一定返回合数:如果算法返回素数,那么则一定是从步骤4或6返回。对于前者,因为nrn必然有因子ar符合1 < gcd(a,n) < n,因此会返回合数。剩余的可能性就是步骤6,在文章[1]中,这种情况被证明不会发生,因为在步骤5中检验的多个等式可以确保输出一定是合数

例子:n = 31为素数

输入:整数n  =  31 > 1。
  1.   若存在整數a > 0 且b > 1 ,令 n  =  ab ;則輸出「合數」。
        for ( b = 2; b < =  log2(n); b +  +  ){
          a = n1/b;
          If ( a是整數 ) 輸出「合數」;
        }
        // a = n1/2...n1/4 = {5.568, 3.141, 2.360}
    
  2.   找出最小的 rordr(n) > log2(n)。
        nextR = True;
        r = 1;
        while ( nextR =  = True ) {
          r +  + ;
          nextR = False
          for ( k = 1;(!nextR) &&k ≤ log2(n); k +  +  ){
            nextR = (nk % r =  = 1 || nk % r =  = 0);
          }
        }
        // r  =  29
    
  3.   若 對某些ar,1 < gcd(a,n) < n,輸出「合數」。
        for ( a = r; a > 1; a-- ){
          If ( 1 < gcd(a,n) < n ) 輸出「合數」;
        }
         
        // gcd(29,31) = 1, gcd(28,31) = 1, ..., gcd(2,31) = 1
    
  4. nr, 輸出「質數」。
        If ( n ≤ r ) 輸出「質數」;
         
        // 31 > 29
    
  5. a  =  1 到 的所有數,
         如果 (X + a)nXn + a (mod Xr − 1,n), 輸出「合數」。
         
        for ( a = 1; a ≤ , a +  +  )
          if ( ((X + a)n-(Xn + a)) % (Xr−1,n) ≠ 0 ) 輸出「合數」。
        }
         
        / *  *  * 
        (x + a)31 % (x29-1,31)
          = (((x + a)29 % (x29-1,31)) * (x + a)2 % 31) % (x29-1,31)
          = ((1 + a29 + 29a28x + (406 % 31)a27x2 + (3654 % 31)a26x3 + (23751 % 31)a25x4 + (118755 % 31)a24x5 + (475020 % 31)a23x6 + (1560780 % 31)a22x7 + (4292145 % 31)a21x8 + (10015005 % 31)a20x9 + (20030010 % 31)a19x10 + (34597290 % 31)a18x11 + (51895935 % 31)a17x12 + (67863915 % 31)a16x13 + (77558760 % 31)a15x14 + (77558760 % 31)a14x15 + (67863915 % 31)a13x16 + (51895935 % 31)a12x17 + (34597290 % 31)a11x18 + (20030010 % 31)a10x19 + (10015005 % 31)a9x20 + (4292145 % 31)a8x21 + (1560780 % 31)a7x22 + (475020 % 31)a6x23 + (118755 % 31)a5x24 + (23751 % 31)a4x25 + (3654 % 31)a3x26 + (406 % 31)a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31)
          = ((1 + a29 + 29a28x + 3a27x2 + 27a26x3 + 5a25x4 + 25a24x5 + 7a23x6 + 23a22x7 + 9a21x8 + 21a20x9 + 11a19x10 + 19a18x11 + 13a17x12 + 17a16x13 + 15a15x14 + 15a14x15 + 17a13x16 + 13a12x17 + 19a11x18 + 11a10x19 + 21a9x20 + 9a8x21 + 23a7x22 + 7a6x23 +  25a5x24 + 5a4x25 + 27a3x26 + 3a2x27 + 29ax28) * (a2 + 2ax + x2)) % (x29-1,31)
          = ((1 + 2 * 29 + 3) % 31)a2 + a31 + ((2 + 29) % 31)ax + ((29 + 2 * 1) % 31)a30x + x2 + ((3 + 2 * 29 + 1) % 31)a29x2 + ((27 + 2 * 3 + 29) % 31)a28x3 + ((5 + 2 * 27 + 3) % 31)a27x4 + ((25 + 2 * 5 + 27) % 31)a26x5 + ((7 + 2 * 25 + 5) % 31)a25x6 + ((23 + 2 * 7 + 25) % 31)a24x7 + ((9 + 2 * 23 + 7) % 31)a23x8 + ((21 + 2 * 9 + 23) % 31)a22x9 + ((11 + 2 * 21 + 9) % 31)a21x10 + ((19 + 2 * 11 + 21) % 31)a20x11 + ((13 + 2 * 19 + 11) % 31)a19x12 + ((17 + 2 * 13 + 19) % 31)a18x13 + ((15 + 2 * 17 + 13) % 31)a17x14 + ((15 + 2 * 15 + 17) % 31)a16x15 + ((17 + 2 * 15 + 15) % 31)a15x16 + ((13 + 2 * 17 + 15) % 31)a14x17 + ((19 + 2 * 13 + 17) % 31)a13x18 + ((11 + 2 * 19 + 13) % 31)a12x19 + ((21 + 2 * 11 + 19) % 31)a11x20 + ((9 + 2 * 21 + 11) % 31)a10x21 + ((23 + 2 * 9 + 21) % 31)a9x22 + ((7 + 2 * 23 + 9) % 31)a8x23 + ((25 + 2 * 7 + 23) % 31)a7x24 + ((5 + 2 * 25 + 7) % 31)a6x25 + ((27 + 2 * 5 + 25) % 31)a5x26 + ((3 + 2 * 27 + 5) % 31)a4x27 + ((29 + 2 * 3 + 27) % 31)a3x28
          = a31 + x2
         
        (x31 + a) % (x29-1,31) = a + x2
         
        (a31 + x2)-(a + x2) = a31-a
         
        
         
        (131-1) % 31 = 0, (231-2) % 31 = 0, (331-3) % 31 = 0, ..., (2631-26) % 31 = 0
         *  *  * /
    
  6.   輸出「質數」。
        31必為質數。
    

注释

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P页面存档备份,存于互联网档案馆)", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.
  2. ^ 亨德里克·伦斯特拉 and Carl Pomerance, "Primality Testing with Gaussian Periods页面存档备份,存于互联网档案馆)", preliminary version July 20, 2005.

延伸阅读

外部链接

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