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e进制

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底数区分的进位制系统
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 24 30 32 36 60 64

e进制是以自然对数底数——e作为进位制底数进制。类似于三进制,通常使用0、1、2三个数字来表达,但由于除了0、1和2之外大部分的整数在e进制中皆需要用无穷小数来表示,因此不是一个实用的进位制,但在底数经济度模型中,e进制被认为是最高效率的进位制[1][2]

性质

在e进制中,自然对数的行为与十进制中的常用对数类似[3],例如:

e进制效率

底数经济度模型中,e进制被认为是最高效率的进位制。

当一个数用进位()表达时,每个位数需要种符号表达,若要表达一个n位数字要储存的元素 は:

进制系统中表示的n位数的资讯量)则有:

因此,在进制系统中以n位数能表示I的信息量所需的存储元素数为:

之下,求出哪个能使最小即可, 即找到能使微分为0的

解得

因此解得以为底的进位制理论上能有最高的表达效率。

与其他进制比较

e进制中,除了0、1和2之外,其他整数皆需要以无穷不循环小数来表达,其中整数部分可透过贪婪算法找出[4]

十进制 二进制 e进制 三进制
1 1 1 1
2 10 2 2
3 11 10.0200 1120 0001 0101 10
4 100 11.0200 1120 0001 0101 11
5 101 12.0200 1120 0001 0101 12
6 110 20.1110 1110 2102 0120 20
7 111 21.1110 1110 2102 0120 21
8 1000 100.1120 1011 1100 0100 22
9 1001 101.1120 1011 1100 0100 100
10 1010 102.1120 1011 1100 0100 101
11 1011 110.2101 0102 0201 2102 102
12 1100 111.2101 0102 0201 2102 110

无理数的e进制表示

常见无理数的e进制表示如下:

  • π ≈ 10.1010 0202 0002 1111 2002 0101 1200 0101 ...(e)OEIS中的数列A050948
  • e = 10(e) (在此计数系统为整数)
  • √2 ≈ 1.1002 1101 1011 1211 2000 1121 0000 0001 ...(e)
  • φ = (1+√5)/2 ≈ 1.1120 2012 1110 0100 2000 0201 2001 1100 ...(e)OEIS中的数列A105166

参见

参考文献

  1. 伊东规之‘マイクロコンピュータの基础’日本理工出版会
  2. 桜井进‘超・超面白くて眠れなくなる数学’PHP研究所
  1. ^ 田崎三郎. ‘三’ の研究. 松山大学论集. 2011, 23 (3): 5––34. 
  2. ^ Hayes, Brian, Third base, American Scientist, 2001, 89 (6): 490–494, doi:10.1511/2001.40.3268, (原始内容存档于2016-03-24) 
  3. ^ Weird Number Bases. DataGenetics. [2018-02-01]. 
  4. ^ Bryan Jacobs, Sloane, N.J.A. (编). Sequence A105116 (The part of n left of the decimal point when written in base e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
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