格尔斯滕哈伯代数是Gerstenhaber在研究结合代数的形变时发现的。一个结合代数的形变跟它的Hochschild上复形有密切的关系,Gerstenhaber证明,Hochschild上复形实际上形成一个微分分次李代数,并且这个微分分次李代数完全控制了该结合代数的形变。Gerstenhaber的研究受到小平邦彦(Kodaira)-Spencer关于流形复结构形变研究的启发,这些思想后来由Deligne和Kontsevich等人加以系统完成。
在下面后4个例子中,例2和例3是1990年代之前发现的,1993年,Deligne在给一些数学家的通信中猜测它们之间也许是有关系的,用数学语言表述,即:对任何一个结合代数,其Hochschild上复形是little disks operad的链(chain) operad上的代数。这就是著名的Deligne猜想,最后由Kontsevich-Soibelman[1],McClure-Smith[2],Tamarkin[3]和Voronov[4]等人解决。Deligne猜想的证明涉及到了很多高深的数学工具,而这些工具都与拓扑共形场论有着密切的联系,因而引起了很多人的兴趣。
稍后,在1997年,Chas和Sullivan的研究论文发表了名为弦拓扑的论文[5],发现了例5。他们的研究结果引起了数学家们很大的关注和进一步的研究,从而开辟了一门崭新的学科。
最后,需要补充的是,关于Gerstenhaber代数的研究往往伴随着Batalin-Vilkovisky代数(简称BV代数)的研究。BV代数是一类特殊的Gerstenhaber代数,往往由Gerstenhaber代数里面的某种对称性而得到,如[6][5]。
设 是数域 上的一个分次向量空间。 上的一个格尔斯滕哈伯代数结构是三元组 ,满足以下关系:
- 是 上的分次、交换、结合的代数;
- 是李括号次数为 -1 的分次李代数;
- 李括号对其两个变元都是乘积 的导子,即对任给 ,
有些文献也把格尔斯滕哈伯代数称为辫代数(braid algebra)。
Kontsevich, M. and Soibelman, Y., Deformations of algebras over operads and the Deligne conjecture. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. I (Dijon), 255-307, Math. Phys. Stud., 21, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
McClure, J.E. and Smith, J.H., A solution of Deligne's Hochschild cohomology conjecture. Recent progress in homotopy theory (Baltimore, MD, 2000), 153-193, Contemp. Math., 293, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2002.
Tamarkin, D., Formality of chain operad of small squares, arxiv: math.QA/9809164
Voronov, A.A., Homotopy Gerstenhaber algebras. Conférence Moshé Flato 1999, Vol. II (Dijon), 307-331, Math. Phys. Stud., 22, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 2000.
Chas, M. and Sullivan, D., String topology, arXiv: math-GT/9911159.
Lian, B.H., Zuckerman, G.J., New perspectives on the BRST-algebraic structure of string theory. Comm. Math. Phys. 154 (1993), no. 3, 613-646.
Gerstenhaber, M., The cohomology structure of an associative ring. Ann. of Math. (2) 78, 1963, 267-288.
Cohen, F.R., The homology of -spaces,, in The homology of iterated loop spaces, Lecture Notes in Math., vol. 533, Springer-Verlag, 1976, 207-351.