黑格纳数

黑格纳数（Heegner number）指满足以下性质，非平方数的正整数：其虚二次域Q(√−d)的类数为1，亦即其整数环为唯一分解整环^{[注解 1][1]}。

黑格纳数只有以下九个： 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163。（OEIS数列A003173）

高斯曾猜测符合上述特性的数只有九个，但未提出证明，1952年库尔特·黑格纳（英语：Kurt Heegner）提出不完整的证明，后来由哈罗德·斯塔克提出完整的证明，即为斯塔克–黑格纳定理（英语：Stark–Heegner theorem）。

欧拉的质数多项式

欧拉的质数多项式如下：

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

在n = 1, ..., 40时会产生不同的40个质数，这相关于黑格纳数163 = 4 · 41 − 1.

欧拉公式，${\displaystyle n}$取值为1,... 40和以下的多项式

${\displaystyle n^{2}+n+41,\,}$

让${\displaystyle n}$取值0,... 39时等效，而Rabinowitz^[2]证明了

${\displaystyle n^{2}+n+p\,}$

在${\displaystyle n=0,\dots ,p-2}$时，多项式为质数的充份必要条件为其判别式${\displaystyle 1-4p}$等于负的黑格纳数。

（若代入${\displaystyle p-1}$会得到${\displaystyle p^{2}}$一定不是质数，因此最大值只能取到${\displaystyle p-2}$）

1, 2和3不符合要求，因此符合条件的黑格纳数为${\displaystyle 7,11,19,43,67,163}$，也就表示可以让欧拉公式产生质数的p为${\displaystyle 2,3,5,11,17,41}$，这些数字被弗朗索瓦·勒·利奥奈（英语：François Le Lionnais）称为欧拉的幸运数（英语：lucky numbers of Euler）^[3]。

拉马努金常数

拉马努金常数是${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}}$的值，是超越数^[4]，但非常接近整数：

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262,537,412,640,768,743.999\ 999\ 999\ 999\ 25\ldots }$

这个数字是在1859年由数学家夏尔·埃尔米特发现^[5]，在1975年愚人节的《科学美国人》^[6]，《数学游戏》的专栏作家马丁·加德纳故意声称这个数字其实是整数，而印度数学天才斯里尼瓦瑟·拉马努金也预测了这个数很接近整数，因此以他的名字来命名。

这个巧合可以用j-invariant（英语：j-invariant）的复数乘法（英语：complex multiplication）及q展开来表示。

注解

1. Q(√−d)的整数环为唯一分解整环，也就表示Q(√−d)的数字都只有一种因数分解方式，例如Q(√−5)的整数环不是唯一分解整环，因为6可以以两种方式在 ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$ 中表成整数乘积：${\displaystyle 2\times 3}$ 和 ${\displaystyle (1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}$。

参考资料

1. Conway, John Horton; Guy, Richard K. The Book of Numbers. Springer. 1996: 224. ISBN 0-387-97993-X. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. Rabinowitz, G. "Eindeutigkeit der Zerlegung in Primzahlfaktoren in quadratischen Zahlkörpern." Proc. Fifth Internat. Congress Math. (Cambridge) 1, 418–421, 1913.
3. Le Lionnais, F. Les nombres remarquables. Paris: Hermann, pp. 88 and 144, 1983.
4. Weisstein, Eric W. (编). Transcendental Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. gives ${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {d}}},d\in Z^{*}}$, based on Nesterenko, Yu. V. "On Algebraic Independence of the Components of Solutions of a System of Linear Differential Equations." Izv. Akad. Nauk SSSR, Ser. Mat. 38, 495–512, 1974. English translation in Math. USSR 8, 501–518, 1974.
5. Barrow, John D. The Constants of Nature. London: Jonathan Cape. 2002. ISBN 0-224-06135-6.
6. Gardner, Martin. Mathematical Games. Scientific American (Scientific American, Inc). April 1975, 232 (4): 127.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Heegner Number. MathWorld.
• Sloane, N.J.A. (编). Sequence A003173 (Heegner numbers: imaginary quadratic fields with unique factorization). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
• Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld （页面存档备份，存于互联网档案馆）: Detailed history of problem.
• Clark, Alex. 163 and Ramanujan Constant. Numberphile. Brady Haran. [2013-10-08]. （原始内容存档于2013-05-16）.