由高等数学知识可知,若一元函数在点的某个邻域内具有任意阶导数,则函数在点处的泰勒展开式为
其中,。
同理,二元函数在点处的泰勒展开式为
其中,,,,,,,。
将上述展开式写成矩阵形式,则有
其中,,是的转置,是函数在的梯度,矩阵
即函数在点处的黑塞矩阵。它是由函数在点处的所有二阶偏导数所组成的方阵。
由函数的二次连续性,有
所以,黑塞矩阵为对称矩阵。
将二元函数的泰勒展开式推广到多元函数,函数在点处的泰勒展开式为
其中,
为函数在点的梯度,
为函数在点的黑塞矩阵。若函数有次连续性,则函数的黑塞矩阵是对称矩阵。
说明:在优化设计领域中,黑塞矩阵常用表示,且梯度有时用表示。[2]
函数的黑塞矩阵和雅可比矩阵有如下关系:
即函数的黑塞矩阵等于其梯度的雅可比矩阵。