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K3曲面

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数学领域的代数几何复流形理论中,K3曲面是一类重要的紧复曲面,在此“曲面”系指二维,视作实流形则为四维。

K3曲面与二维复环面构成二维的卡拉比-丘流形。复几何所探讨的K3曲面通常不是代数曲面;然而这类曲面首先出现于代数几何,并以恩斯特·库默尔、埃里希·卡莱尔与小平邦彦三位姓氏缩写为 K 的代数几何学家命名,也与1950年代被命名的K2峰相映成趣。

定义

在不同的脉络下,K3曲面的定义略有不同。

  • 在复几何中,K3曲面是具有平凡典范丛的紧致、单连通复曲面。
  • 在代数几何中,K3曲面是具有平凡典范丛,且 的射影曲面。此定义可推广至任意上的代数曲面。
  • 另有一个物理文献中常见的刻划:K3曲面是不同构于 的复二维卡拉比-丘流形

重要性质

  1. 若将K3曲面视为四维实流形,则它们彼此微分同胚。其贝蒂数为:1、0、22、0、1。
  2. 所有K3曲面都是卡莱尔流形。
  3. 根据丘成桐证出的卡拉比猜想,所有K3曲面都配有里奇平坦度量
  4. 现已知对复K3曲面存在一个20维的粗模空间。对复K3曲面,存在周期映射,而且相应的托雷利定理成立。K3曲面也另有其它数种具备良好周期映射的模空间。
  5. K3曲面在弦理论中扮演重要角色,因为它提供了除环面之外最简单的紧致化。K3曲面上的紧化保存一半的超对称

例子

  • 库默尔曲面源自一个二维阿贝尔簇 的商空间,此商在二阶挠点上产生 个奇点。该空间的极小分解是个K3曲面。
  • 里的四次平滑曲面。
  • 里二次曲面与三次曲面之交。
  • 里三个二次曲面之交。
  • 沿一条平滑六次曲线的分歧覆盖。

参见

  • 代数曲面

参考文献

外部链接

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K3曲面
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