纳维-斯托克斯方程
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纳维尔-斯托克斯方程(Navier-Stokes equations),以法国工程师兼物理学家克劳德-路易·纳维、爱尔兰物理学和数学家乔治·斯托克斯两人命名,是一组偏微分方程,描述液体和空气等流体的运动。
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纳维尔-斯托克斯方程表达了牛顿流体运动时,动量和质量守恒。有时,还连同状态方程列出,说明流体压强、温度、密度之间的关系。[1]方程断言,流体粒子动量的改变率(力),来自作用在液体内部的压力变化、耗散粘滞力、以及重力。其中粘滞力类似于摩擦力,产生于分子的相互作用,越黏的流体,该作用就越强。这样,纳维-斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
学术研究和经济生活中,许多重要物理过程都可用纳维尔-斯托克斯方程描述,因此该些方程有很重要的研究价值。它们可以用于模拟天气、洋流、管道中的水流、星系中恒星的运动、翼型周围的气流,也可以用于设计飞行器和车辆、研究血液循环、设计电站、分析污染效应等等。纳-斯方桯组与麦克斯韦方程组联立,用于研究磁流体力学。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。不同于代数方程,这些方程不寻求建立所研究的变量(譬如速度和压强)的关系,而寻求建立这些量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲,这些变化率对应于变量的导数。其中,在零粘滞度的最简单情况下,纳维-斯托克斯方程化为欧拉方程,表明加速度(速度的导数,或者说变化率)与内部压力的导数成正比。
这表示对于给定的物理问题,至少要用微积分才可以求得其纳维-斯托克斯方程的解。实用上,也只有最简单的情况才能用这种方法获得已知解。这些情况通常涉及稳定态(流场不随时间变化)的非紊流,其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小(低雷诺数)。
对于更复杂的情形,例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力,现时仅能借助计算机求出纳维-斯托克斯方程的数值解。这个科学领域称为计算流体力学。
虽然紊流是日常经验中就可以遇到的,但这类非线性问题在理论上极难求解,仍未能证明三维空间中是否总存在光滑解,甚至有界解。此问题称为纳维-斯托克斯存在性与光滑性。克雷数学学院于2000年5月21日列入七大未解难题,悬赏一百万美元,奖励找到数学证明或反例的任何人。[2][3]