qBeta函数

qBeta函数是B函数的q模拟

${\displaystyle B_{q}(a,b)={\frac {\Gamma _{q}(a)\cdot \Gamma _{q}(b)}{\Gamma _{q}(a+b)}}}$

其中${\displaystyle \Gamma _{q}(a)}$是QΓ函数。

当${\displaystyle b>0}$且${\displaystyle a\neq 0,-1,-2,\ldots }$时，该函数亦可以q积分（英语：q-Integral）和q阶乘幂定义：^[1]:1481

${\displaystyle B_{q}(a,b)=\int _{0}^{1}x^{b-1}{\frac {(qx;q)_{\infty }}{(q^{a}x;q)_{\infty }}}\mathrm {d} _{q}x.}$

其与基本超几何函数${\displaystyle {}_{2}\phi _{1}}$的关系为：^[1]:1482

${\displaystyle B_{q}(a,b)={}_{2}\phi _{1}(q^{1-a},q^{b};q^{b+1};q,q^{a}).}$

参考文献

1. Ahmed Salem. Generalized q-integrals via neutrices: Application to the q-beta function. Filomat (Faculty of Sciences and Mathematics, University of Niš（英语：University of Niš）, Serbia). 2013, 27 (8): 1473–1483. doi:10.2298/FIL1308473S.

• Frank Oliver. NIST Handbook of Mathematical Functions. Cambridge University Press. 2010: 145.

外部链接

埃里克·韦斯坦因. q-Beta Function. MathWorld.