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X²+1素数

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x²+1素数问题是一个未解决的数学问题,其陈述为:是否有无穷个正整数x,使得x²+1为素数?

这个问题得到许多数论学者的关注。有学者认为这个问题比孪生素数猜想更加困难,因为在正整数中,形如x²+1的数比p+2稀少,所以x²+1为素数的概率更小。[1]

10000以内的x²+1素数为(OEISA002496):2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

历史

在1912年的国际数学家大会上,爱德蒙·兰道就素数理论的发展和黎曼ζ函数作演说,当中他提到有四个关于素数的问题,是“以目前的科学状况无法攻克”的。第四个问题便是:“函数u²+1在u取整数值时是否给出了无穷多个素数?”[2]

推论

更一般地,设f(x)=ax^2+bx+c为整系数二次函数。可以证明,若f(x)能取无穷多次的素数值,那么a, b, c须符合以下条件:

  1. a, b, c的最大公约数为1
  2. a+b和c不能都是偶数
  3. b²-4ac不是完全平方数

一个广义化的猜想便是,若a为正数且a, b, c符合上述3个条件,那么f(x)便能取无穷多次的素数值(见布尼亚科夫斯基猜想)。[3]

进展

1923年,英国数学家哈代李特尔伍德猜测[2]

根据弗里德兰德-伊万涅茨定理英语Friedlander–Iwaniec theorem,存在无穷多个形如的素数。

在1978年,亨里克·伊万涅茨英语Henryk Iwaniec证明了存在无穷多个x,使得至多是两个素数的积。

X²+1合数与佩尔方程

由于问题的困难,人们开始关注X²+1合数,企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。[来源请求]发现许许多多X²+1合数有平方因子

例如:18²+1=325=5²×13;32²+1=1025=5²×41;38²+1=1445=5×17²;68²+1=4625=5³×37;70²+1=4901=13²×29;....。

这是一个佩尔方程形式:

38²-5×17²=-1;70²-29×13²=-1。

注释

  1. ^ “10000个科学难题”数学编委会 编. 10000个科学难题(数学卷). 科学出版社. 2009: 102. ISBN 9787030242679. 
  2. ^ 2.0 2.1 János Pintz. LANDAU'S PROBLEMS ON PRIMES (PDF). [2014-10-25]. (原始内容存档 (PDF)于2013-10-30). 
  3. ^ 《数学辞海》编辑委员会 编. 数学辞海(第六卷). 山西教育出版社、中国科学技术出版社、东南大学出版社. 2002: 660. ISBN 9787544024013. (原始内容存档于2014-10-25). 

参考文献

参见

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X²+1素数
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