σ-代数

在数学中，某个集合 X 上的 σ-代数（英语：σ-algebra）又叫 σ-域（英语：σ-field），是 X 的某群子集合所构成的特殊子集族。这个子集族对于补集运算和可数个并集运算具有封闭性（因此对于可数个交集运算也是封闭的）。σ-代数在测度论里可以用来定义所谓的“可测集合”，是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年，它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数（得名于法国数学家埃米·波莱尔），以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中，σ-代数不仅仅是用于建立公理体系，也是一个强有力的工具，在定义许多重要的概念如条件期望和鞅的时候，都需要用到。

动机

σ-代数的提出有至少三个作用：定义测度，操作集合的极限，以及管理集合所表示的部分信息。

测度

测度是给${\displaystyle X}$的子集赋予非负实数值的函数；可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲，若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和，即使有无穷多个这样的不交集。

定义

定义 — 
${\displaystyle X}$ 为一集合，假设有子集族 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$（ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$ 代表 ${\displaystyle X}$ 的幂集）满足下列条件^[1][2]

1. ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$
2. ${\displaystyle (\forall A\in {\mathcal {F}})\left\{(A\in {\mathcal {F}})\Rightarrow [(X-A)\in {\mathcal {F}}]\right\}}$
3. ${\displaystyle (\forall {\mathcal {A}})\left\{[({\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} )\wedge ({\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {F}})]\Rightarrow \left(\bigcup {\mathcal {A}}\in {\mathcal {F}}\right)\right\}}$

则称 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一个 σ-代数。

注意到定义第3条的${\displaystyle {\mathcal {A}}\cong \mathbb {N} }$，意思是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 和自然数系 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 等势，直观的意思就是 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ 里的元素跟自然数一样多。

以上定义的直观意义为：一群 ${\displaystyle X}$ 的子集合所组成的集合 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ，为 ${\displaystyle X}$ 上的一个 σ-代数意思是满足：

• ${\displaystyle X}$ 本身就是 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的元素；
• 如果集合 ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中，那么它的补集 ${\displaystyle X-A}$ 也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$中；
• 如果有可数个集合 ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots }$ 都在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中，那么它们的并集也在${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中。

在测度论里有序对 ${\displaystyle \left(X,{\mathcal {F}}\right)}$ 会被称为一个可测空间。而任何在 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中的子集 ${\displaystyle A}$，则称为可测集合（measurable set）；而在概率论中， ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 被称为事件族（family of events）， ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 中的子集 ${\displaystyle A}$ 则称为事件。

例子

• ${\displaystyle X}$上最小的σ-代数是${\displaystyle \{\varnothing ,X\}}$。
• ${\displaystyle X}$上最大的σ-代数是${\displaystyle X}$的幂集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$（也就是所有 ${\displaystyle X}$ 的子集合所组成的集合）

最小σ-代数

定理 — 
设 ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一个子集族，则：

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

也是${\displaystyle X}$ 的σ代数。

证明

根据 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 的定义（严谨来说，依据分类公理所新增的公理），对所有集合 ${\displaystyle A}$ 有： ${\displaystyle A\in \sigma ({\mathcal {F}})\Leftrightarrow (\forall \Sigma )\left\{[\,(\Sigma {\text{ is a algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma )\,]\Rightarrow (A\in \Sigma )\right\}}$ (a) 以下将逐条检验σ代数的定义，来验证 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 的确是 ${\displaystyle X}$ 的σ代数： (1) ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F}})}$ 对所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$ 来说，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 是σ代数，按照定义理当有 ${\displaystyle X\in \Sigma }$ ，所以由式(a)的右方的确可以得出 ${\displaystyle X\in \sigma ({\mathcal {F}})}$ 。 (2)若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，则 ${\displaystyle X-A}$ 也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 中 若 ${\displaystyle A\in \Sigma }$ ，那根据式(a)，对所有的集合族 ${\displaystyle \Sigma }$ 来说，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 是σ代数 且${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \Sigma }$，理当有 ${\displaystyle A\in \Sigma }$，所以对所有 ${\displaystyle \Sigma }$ 只要满足这两个条件，理当有 ${\displaystyle X-A\in \Sigma }$，所以由式(a)的右方的确有： ${\displaystyle (\forall A)\{[A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\Rightarrow [X-A\in \sigma ({\mathcal {F}})]\}}$ (3)可数个并集也在 ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 中 若 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \sigma ({\mathcal {F}})}$ ，由式(a)，只要 ${\displaystyle \Sigma }$ 满足(a)左方的两个条件，就有 ${\displaystyle \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\subseteq \Sigma }$ ，所以： ${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \Sigma }$ 所以再从(a)右方，就可以得到： ${\displaystyle \bigcup \{A_{1},\,A_{2},\,\dots \}\in \sigma ({\mathcal {F}})}$ 综上所述， ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}})}$ 的确是 ${\displaystyle X}$ 的σ代数。${\displaystyle \Box }$

根据以上的定理，可以做以下的定义：

定义 — 
${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ 是 ${\displaystyle X}$ 的一个子集族，则：

${\displaystyle \sigma ({\mathcal {F}}):=\bigcap {\bigg \{}\Sigma \,{\bigg |}\,(\Sigma {\text{ is a sigma algebra of }}X)\wedge ({\mathcal {F}}\subseteq \Sigma ){\bigg \}}}$

称为包含 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 的最小σ-代数。

例子

• 设集合${\displaystyle X=\{a,b,c,d\}}$，那么${\displaystyle \sigma (\{\{a\}\})=\{\varnothing ,\{a\},\{b,c,d\},X\}}$ 是集合${\displaystyle X}$上含有 ${\displaystyle \{a\}}$ 的σ-代数中最“小”的一个。

性质

σ-代数是一个代数也是一个λ系，它对集合的交集、并集、差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。