复合函数

复合函数（英语：composite function），又称作合成函数，在数学中是指逐点地把一个函数作用于另一个函数的结果，所得到的第三个函数。例如，函数 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 和 ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$ 可以复合，得到从 ${\displaystyle X}$ 中的 ${\displaystyle x}$ 映射到 ${\displaystyle Z}$ 中 ${\displaystyle g(f(x))}$ 的函数。直观来说，如果 ${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle y}$ 的函数，${\displaystyle y}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的函数，那么 ${\displaystyle z}$ 是 ${\displaystyle x}$ 的函数，得到的复合函数记作 ${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$，定义为对 ${\displaystyle X}$ 中的所有 ${\displaystyle x}$，${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$。^{[note 1]}直观地说，复合两个函数是把两个函数链接在一起的过程，内函数的输出就是外函数的输入。

函数的复合是关系复合的一个特例，因此复合关系的所有性质也适用于函数的复合。^[1]复合函数还有一些其他性质。

定义

考虑到函数的值域跟定义域，要简单的以“计算式”，如把所有 ${\displaystyle (x,\,x+1)}$ 和 ${\displaystyle (y,\,{\sqrt {y}})}$ 的有序对头接尾的这样直观定义“合成”是会遇到问题的，像是把 ${\displaystyle x}$ 取为实数，这样把 ${\displaystyle x+1}$ 很自然的对接到 ${\displaystyle y}$ 然后开根号成 ${\displaystyle {\sqrt {y}}}$ ，是会遇到对负数开根号，出现非单一值的问题（请参见棣莫弗公式），就算不考虑单一值的问题，我们期望的“合成函数”的值域到底该不该包含复数呢？所以 (1) 我们一开始就要把准备“合成”的两个函数的值域跟定义域划分清楚 (2) 要考虑到对接的时候，前面的值域跟后面的值域不一定相等的问题。

设我们有两个函数 ${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ ，两者的定义域分别是 ${\displaystyle D_{f}}$ 和 ${\displaystyle D_{g}}$，值域分别是 ${\displaystyle I_{f}}$ 和 ${\displaystyle I_{g}}$。如果 ${\displaystyle I_{f}\cap D_{g}\neq \varnothing }$ ，那我们定义合成函数为

${\displaystyle g\circ f:=\{(x,\,z)\,|\,(\exists y\in I_{f}\cap D_{g})[y=f(x)\wedge z=g(y)]\}}$

直观上来说，如果 ${\displaystyle f}$ 的“输出范围”是有一部分在 ${\displaystyle g}$ 的“输入范围”，那我们就可以定义“先作用 ${\displaystyle f}$ 再作用 ${\displaystyle g}$ ”的函数，但这个“新合成”的函数的定义域可能会因此被限缩（输出值处在两者交集的那些 ${\displaystyle x}$ 而已）。注意到每个 ${\displaystyle x}$ 只会有一个输出值 ${\displaystyle y}$ ，而每个 ${\displaystyle y}$ 只会有一个输出值 ${\displaystyle z}$ ，所以这样“先作用 ${\displaystyle f}$ 再作用 ${\displaystyle g}$ ”的话，每个 ${\displaystyle x}$ 只会有一个输出值 ${\displaystyle z}$ 而已，这确保了 ${\displaystyle g\circ f}$ 符合我们对函数的要求。

绝对值函数与三次函数，两个实函数以不同的次序复合。这表明了函数复合不遵守交换律

当 ${\displaystyle g\circ f=f\circ g}$ 时（注意这是集合的相等！），我们会说 ${\displaystyle g}$ 和 ${\displaystyle f}$ 是可交换的。

两个一对一函数的合成函数也是一对一的。

涉及到可导函数的复合函数的导数，可以用链式法则求得。Faà di Bruno公式给出了复合函数的高阶导数的表达式。

例子

${\displaystyle g\circ f}$，${\displaystyle f}$ 与 ${\displaystyle g}$ 的复合。例如，${\displaystyle (g\circ f)(c)=\#}$.

两个函数复合的具体例子

• 有限集上的函数复合：若 ${\displaystyle f=\{(1,3),(2,1),(3,4),(4,6)\}}$，${\displaystyle g=\{(1,5),(2,3),(3,4),(4,1),(5,3),(6,2)\}}$，则 ${\displaystyle g\circ f=\{(1,4),(2,5),(3,1),(4,2)\}}$.
• 无限集上的函数复合：若 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ （其中 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 是所有实数的集合）表达式为 ${\displaystyle f(x)=2x+4}$，而 ${\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ 表达式为 ${\displaystyle g(x)=x^{3}}$，则：

${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(x^{3})=2x^{3}+4}$，且

${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(2x+4)=(2x+4)^{3}}$.

• 如果一架飞机在 ${\displaystyle t}$ 时刻的海拔为 ${\displaystyle h(t)}$，而海拔 ${\displaystyle x}$ 处的氧气浓度为 ${\displaystyle c(x)}$，那么 ${\displaystyle (c\circ h)(t)}$ 描述了 ${\displaystyle t}$ 时刻飞机周围的氧气浓度。

复合幺半群

假设我们有两个（或多个）函数 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$， ${\displaystyle g:X\rightarrow X}$，定义域与到达域相同；这些函数一般称作变换。于是，我们可以构造多个变换复合而成的链，比如 ${\displaystyle f\circ f\circ g\circ f}$。这种链具有幺半群的代数结构，称作变换幺半群或者复合幺半群。通常，变换幺半群可以具有非常复杂的结构。一个很有名的例子是德拉姆曲线。所有函数 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ 的集合称作 ${\displaystyle X}$ 上的全变换半群^[2]或对称半群^[3]。（我们其实可以定义两个半群，这取决于定义半群运算为函数左复合和右复合的方式。^[4]）

把 ${\displaystyle \bigtriangleup EFA}$ 变换为 ${\displaystyle \bigtriangleup ATB}$ 的相似性是位似 ${\displaystyle H}$ 和以 ${\displaystyle S}$ 为中心的旋转 ${\displaystyle R}$ 的复合。例如，${\displaystyle A}$ 在旋转 ${\displaystyle R}$ 下的像是 ${\displaystyle U}$，可以写作${\displaystyle R(A)=U}$。而 ${\displaystyle H(U)=B}$ 表示映射 ${\displaystyle H}$ 把 ${\displaystyle U}$ 变换到了 ${\displaystyle B}$。因此，${\displaystyle H(R(A))=(H\circ R)(A)=B}$。

如果变换是双射（也就可逆），则这些函数所有可能的组合就构成了一个变换群；可以说这个群是由这些函数生成的。这就引出了群论里面的凯莱定理从本质上表明，（在同构意义下）任何群都是某一置换群的子群。^[5]

所有双射函数 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$（称作置换）的集合构成了一个关于复合算子的群。这就是对称群，有时称作复合群。

在（所有变换的）对称半群中，我们还可以发现一个较弱的、非唯一的逆变换（称作伪逆），因为对称子群是一个正则半群。^[6]

函数幂

如果 ${\displaystyle Y\subseteq X}$，则 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 有可能可以与自身复合；这有时候记作 ${\displaystyle f^{2}}$。即：

${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$

${\displaystyle (f\circ f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(f(x))))=f^{4}(x)}$

更一般地，对于 ${\displaystyle n\geq 2}$ 的自然数，${\displaystyle n}$ 次函数幂可以归纳定义为 ${\displaystyle f^{n}=f\circ f^{n-1}=f^{n-1}\circ f}$。 这种函数与自身的反复复合称作迭代函数。

• 习惯上，${\displaystyle f^{0}}$ 定义为 ${\displaystyle f}$ 定义域上的恒同映射，${\displaystyle id_{X}}$.
• 如果 ${\displaystyle Y=X}$，而 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ 存在反函数 ${\displaystyle f^{-1}}$，那么对于 ${\displaystyle n>0}$，负函数幂 ${\displaystyle f^{-n}}$ 定义为反函数的幂：${\displaystyle f^{-n}=(f^{-1})^{n}}$。

注意：若 ${\displaystyle f}$ 在一个环内取值（特别是对于实值或复值 ${\displaystyle f}$），存在混淆的风险，因为 ${\displaystyle f^{n}}$ 也可以表示 ${\displaystyle f}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次乘积，比如 ${\displaystyle f^{2}(x)=f(x)\cdot f(x)}$。 对于三角函数，通常会使用后者的含义，至少对于正指数是这样。例如，在三角学中，使用三角函数 ${\displaystyle \sin ^{2}(x)=\sin(x)\cdot \sin(x)}$ 的时候，这个上标记号表示标准的指数运算。不过，对于负指数（特别是 −1），则通常指的是反函数，例如，${\displaystyle \tan ^{-1}=\arctan \neq {\frac {1}{\tan }}}$.

在一些情况下，对于给定函数 ${\displaystyle f}$，方程 ${\displaystyle g\circ g=f}$ 只有一个解 ${\displaystyle g}$ 的时候，该函数可以定义为 ${\displaystyle f}$ 的函数平方根，记作 ${\displaystyle g=f^{\frac {1}{2}}}$.

更一般地，当 ${\displaystyle g^{n}=f}$ 只有唯一解时（自然数 ${\displaystyle n>0}$），${\displaystyle f^{\frac {m}{n}}}$可以定义为 ${\displaystyle g^{m}}$.

在额外的限制下，这个想法还可以推广，使得迭代函数可以是一个连续的参数；在此情形下，这样的系统称作流，由施罗德方程定义。迭代函数和流很自然地出现在分形和动力系统的研究中。

为避免混淆，有些数学家把 ${\displaystyle f}$ 的 ${\displaystyle n}$ 次迭代写作 ${\displaystyle f^{\circ n}}$.

其他记法

许多数学家，特别是群论方面的数学家，省去复合符号，把 ${\displaystyle g\circ f}$ 写作 ${\displaystyle gf}$.^[7]

在20世纪中叶，一些数学家认为用“${\displaystyle g\circ f}$”来表示“首先施加 ${\displaystyle f}$，然后施加 ${\displaystyle g}$”太令人困惑，于是决定改变记法。他们用“${\displaystyle xf}$”来代表“${\displaystyle f(x)}$”，用“${\displaystyle (xf)g}$”来代表“${\displaystyle g(f(x))}$”。^[8]这在某些领域会比函数写在左面更加自然和简便—比如在线性代数中，当 ${\displaystyle x}$ 为行向量，${\displaystyle f}$ 和 ${\displaystyle g}$ 表示矩阵，而复合是通过矩阵乘法完成的时候。这种替代记法称作后缀表示法。顺序很重要，因为函数复合不一定是可交换的（比如矩阵乘法）。向右进行施加函数和复合的写法复合从左到右的阅读顺序。

使用后缀表示法的数学家可能会写“${\displaystyle fg}$”，表示先施加 ${\displaystyle f}$ 再施加 ${\displaystyle g}$，这样就能与后缀表示法中的符号的顺序保持一致，不过这就会让“${\displaystyle fg}$”这个记号有歧义了。计算机科学家可能用 ${\displaystyle f;g}$ 来表示 [1] ，这样就能区分出复合的顺序了。要把左复合算子和文本分好区分开来，在Z表示法（Z notation）中 ⨾ 字符用于左关系复合。^[9]由于所有函数都是二元关系，在函数复合中也应该用[粗]分号（参见 关系复合条目了解此记法的详细内容）。

复合算子

给定函数 ${\displaystyle g}$，复合算子 ${\displaystyle C_{g}}$ 定义为使得

${\displaystyle C_{g}f=f\circ g.}$

的从函数映射到函数的算子。在算子理论领域会研究复合算子。

多元函数

对于多元函数来说，部分复合是有可能的。当函数 ${\displaystyle f}$ 的部分参数 ${\displaystyle x_{i}}$ 由 ${\displaystyle g}$ 换掉后得到的结果在一些计算机工程文献中，记作 ${\displaystyle f|_{x_{i}=g}}$

${\displaystyle f|_{x_{i}=g}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

当 ${\displaystyle g}$ 是一个常数 ${\displaystyle b}$ 时，复合退化为一个（部分）求值，其结果就会是限制或者辅因子。^[10]

${\displaystyle f|_{x_{i}=b}=f(x_{1},\ldots ,x_{i-1},b,x_{i+1},\ldots ,x_{n}).}$

通常，多元函数的复合可能涉及若干其他函数作为参数，如原始递归函数的定义。给定 ${\displaystyle f}$，一个 ${\displaystyle n}$ 元函数，${\displaystyle n}$ 个 ${\displaystyle m}$ 元函数 ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$，${\displaystyle f}$ 与 ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ 的复合是 ${\displaystyle m}$ 元函数

${\displaystyle h(x_{1},\ldots ,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},\ldots ,x_{m}),\ldots ,g_{n}(x_{1},\ldots ,x_{m}))}$.

这有时称作 ${\displaystyle f}$ 与 ${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ 的广义复合。^[11]在这个一般化的情形中，可以通过把所有这些用作参数的函数合适地选为射影函数，只保留一个参数函数，就能得到前面提到的只有一个参数部分复合的函数。还要注意，在这个一般化情形中，${\displaystyle g_{1},\cdots ,g_{n}}$ 可以看作是单个向量或元组值函数，这样理解的话，这就是复合函数的标准定义。^[12]

某些基本集 ${\displaystyle X}$ 上的一些有限性运算称作克隆，它们需要包含所有射影，并且在广义复合下封闭。请注意，克隆通常包含各种元数（arity）的运算。^[11]交换的概念在多元情形中叶有一个有意思的推广：如果元数 ${\displaystyle n}$ 的函数 ${\displaystyle f}$ 是保持 ${\displaystyle g}$ 的同态函数（${\displaystyle g}$ 的元数为 ${\displaystyle m}$），则可以说 ${\displaystyle f}$ 与 ${\displaystyle g}$ 是可交换的，反之亦然。例如：^[13]

${\displaystyle f(g(a_{11},\ldots ,a_{1m}),\ldots ,g(a_{n1},\ldots ,a_{nm}))=g(f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

一元运算总是与自己可交换，但二元（或者更多元）运算不一定如此。与自身可交换的二元（或更多元）运算称为medial或entropic。^[13]

推广

复合可以推广到任意二元关系。若 ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ 与 ${\displaystyle S\subseteq Y\times Z}$ 是两个二元关系，则它们的复合 ${\displaystyle S\circ R}$ 是定义为 ${\displaystyle \{(x,z)\in X\times Z:\exists y\in Y.(x,y)\in R\land (y,z)\in S\}}$. 考虑二元关系的一个特殊情形（函数关系），复合函数满足关系复合的定义。

偏函数的复合可是用相同方式定义的定义，有一个类似凯莱定理（Cayley's theorem）的定理叫做Wagner-Preston定理。^[14]

具有态射函数的集合范畴叫做原型范畴（prototypical category）。范畴的公理实际上受到了复合函数的性质（和定义）启发。^[15]由复合形成的结构在范畴论中被公理化和推广，函数的概念换成了范畴论中的态射。公式 ${\displaystyle (f\circ g)^{-1}=(g^{-1}\circ f^{-1})}$ 中的反序复合，同样适用于使用逆关系的关系复合，因此在群论中也适用。这些结构形成了dagger范畴。

排版

复合算子 ∘  编码为U+2218 ∘ RING OPERATOR ，HTML：∘。参见Degree symbol条目中外观类似的Unicode字符。在TeX中，写作\circ。

参见

• 组合子逻辑
• 函数分解（英语：Functional decomposition）
• 迭代函数
• 解析函数的无限复合（英语：Infinite compositions of analytic functions）
• 流
• 高阶函数
• 蛛网图（英语：Cobweb plot），函数复合的图形方法
• Λ演算
• 函数平方根（英语：Functional square root）
• 复合环（英语：Composition ring），复合运算的形式公理化
• 随机变量函数