一阶偏微分方程

一阶偏微分方程是只和未知数的一阶导数有关的偏微分方程，其型式如下

${\displaystyle F(x_{1},\ldots ,x_{n},u,u_{x_{1}},\ldots u_{x_{n}})=0.\,}$

以下的应用会用到一阶偏微分方程：建构双曲型偏微分方程的特征曲面、变分法、一些几何问题，以及一些解有用到特征线法的气体动力学简单模型。若可以找到一阶偏微分方程的解族，可以透过建立解族的包络线来找到其他的解。

通解及全积分

一阶偏微分方程的通解是指其中包括待定常数的解。若一阶偏微分方程中的待定常数和自变数一样多，此解则称为全积分（complete integral）。以下有n个参数的解族

${\displaystyle u=\phi (x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$

若满足${\displaystyle {\text{det}}|\phi _{x_{i}a_{j}}|\neq 0}$的条件，即为全积分^[1]。

波方程的特征曲面

波方程本身是二阶偏微分方程，而其特征曲面为满足以下方程的等值曲面

${\displaystyle u_{t}^{2}=c^{2}\left(u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}\right).\,}$

若令${\displaystyle u_{t}=1}$，对一般性的影响不大，此时u满足

${\displaystyle u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+u_{z}^{2}={\frac {1}{c^{2}}}.\,}$

用方量的表示方式，令

${\displaystyle {\vec {x}}=(x,y,z)\quad {\hbox{and}}\quad {\vec {p}}=(u_{x},u_{y},u_{z}).\,}$

解族的特征曲面可以表示为

${\displaystyle u({\vec {x}})={\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}),\,}$

其中

${\displaystyle |{\vec {p}}\,|={\frac {1}{c}},\quad {\text{and}}\quad {\vec {x_{0}}}\quad {\text{is arbitrary}}.\,}$

若x和x₀不变，此解的包络线可以由找到半径1/c圆球上的点，且u值为定值的点来求得。若${\displaystyle {\vec {p}}}$平行${\displaystyle {\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}}$，此条件会成立。因此，包络线为

${\displaystyle u({\vec {x}})=\pm {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|.}$

这个解对应一个半径会以速度c膨胀或是收缩的圆球。这也是在时空下的光锥。

此方程的初值问题会包括给定t=0 时，u=0 的等值曲面S。这可以由找到所有中心在S上，半径以速度c膨胀或是收缩的圆球包络面来求得。包络面可以由下式求得

${\displaystyle {\frac {1}{c}}|{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|\quad {\hbox{is stationary for}}\quad {\vec {x_{0}}}\in S.\,}$

若${\displaystyle |{\vec {x}}-{\vec {x_{0}}}\,|}$和S垂直，上式就会成立，因此包络线对应和S垂直，速度为c的运动，这也就是Huygens波前建立法：S上的每一点在t=0时发射一个球状波，较晚时间t的波前就是这些球状波的包络线。S的法向量即为光线。