不可及数

不可及数（Untouchable Number）是指无法表示为任何一个正整数（包括它自己）的全部真约数之和的正整数。

比如5就是不可及数。将5分解为含有1且全部加数均不重复的形式只有5=1+4一种；由于其它的分解方式均含相同的数或不含1，故5是不可及数。

相反的，4就不是不可及数，因为4可以表示为1+3，这是9的正因子（不考虑9本身）的和，因此4不是不可及数。

在线数列百科OEIS的A005114数列展示了递增排列的不可及数：

2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290,292,304,306,……

历史

关于不可及数的最早研究历史至少可以追溯到大约公元1000年伊本·塔希尔·巴格达迪的研究，其发现2和5都是不可及数。^[1][2]

埃尔德什·帕尔证明了不可及数有无穷多个。

性质

• 人们相信5应该是不可及数中唯一的奇数，但这尚未获得证明。可以由稍强化的哥德巴赫猜想^[3]得到此推论。如果这个猜想成立，那么除了2和5，不可及数都应该是合数。

• 完全数显然不是不可及数：完全数正好等于自身所有因子之和。

• 梅森数显然不是不可及数：2的幂的真约数和正好等于梅森数。

• 质数进位由1组成的纯位数显然不是不可及数：质数幂的真约数和等于质数进位由1组成的纯位数。

• 不可及数不可能比素数多1：显然任何素数p的平方的因子之和为p+1。

• 不可及数不可能比素数多3：显然任何素数p的2倍的因子之和为p+3。

参见

• 真因数和