倒向随机微分方程

倒向随机微分方程（BSDE）是带有终点条件的随机微分方程，其解要根据底层滤波进行调整。BSDE自然地出现在各种应用中，如随机控制、金融数学与非线性费曼-卡茨公式。^[1]

背景

1973年让-米歇尔·比斯姆提出了BSDE线性情形^[2]，1990年法国学者Etienne Pardoux（英语：Etienne Pardoux）和中国学者彭实戈合作发表的论文中提出BSDE非线性情形，线性是广泛的非线性中的一特殊形式^[3][4]。

数学框架

固定终点时刻${\displaystyle T>0}$与概率空间${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$。令${\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}$为布朗运动，其自然滤波${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$。BSDE是积分方程，其类型为

${\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],}$

1

其中${\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$称作BSDE的生成器，终点条件${\displaystyle \xi }$是${\displaystyle {\mathcal {F}}_{T}}$-可测随机变量，解${\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}$包含随机过程${\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}$、${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$，其适应于过滤${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}$。

例子

在${\displaystyle f\equiv 0}$情形下，BSDE (1)简化为

${\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T].}$

2

若${\displaystyle \xi \in L^{2}(\Omega ,\mathbb {P} )}$，则根据鞅表示定理，存在唯一的随机过程${\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}$使${\displaystyle Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]}$、${\displaystyle Z_{t}}$满足BSDE (2)。

另见

• 鞅表示定理
• 随机控制
• 随机微分方程