伪多边形

在几何学中，伪多边形（英语：pseudogon）又称为超无限边形，是一种位于双曲平面上的无限边形，具有伪多边形群（英语：Coxeter_notation#Rank two groups）（pseudogonal group）的对称性，诺曼·约翰逊（英语：Norman Johnson (mathematician)）将一般的发散镜射形式的无限边形称为伪多边形，其外接圆为极限圆，正伪多边形在施莱夫利符号中用${\displaystyle \left\{{\frac {i\pi }{\lambda }}\right\}}$表示，其中${\displaystyle \lambda }$表示发散垂直镜射的周期距离^[1]，用来表示其拓扑结构具有比无限边形更多的边与顶点，换句话说，若其不为发散镜射形式则只能看做为普通的无限边形，也因此伪多边形无法在平面上存在。此外，伪多边形也可以解释为未完全具备多边形性质的多边形^[2]，此种情况下未必需要位于双曲面，这种伪多边形其英文也可以写为pseudo polygon^[3][4]。

伪多边形 超无限边形
伪多边形（Pseudogon） 双曲正无限边形 双曲面上的伪多边形。
类型	正多边形 二维双曲镶嵌
对偶	自身对偶
边	${\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \infty }$
顶点	${\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}$ ${\displaystyle \infty }$
施莱夫利符号	${\displaystyle \left\{{\frac {i\pi }{\lambda }}\right\}}$ ${\displaystyle \{\infty \}}$
考克斯特符号（英语：Coxeter–Dynkin diagram）
对称群	${\displaystyle \left[{\frac {i\pi }{\lambda }}\right]}$
内角（度）	双曲平角
特性	非严格凸, 圆内接多边形, 等边多边形, 等角多边形, 双曲线, 发散

正伪多边形

位于三阶伪多边形（iπ/λ，λ=π/9）的伪多边形与其外接圆超圆形。

正伪多边形（英语：regular pseudogon）又称双曲正无限边形，是双曲线${\displaystyle H^{1}}$（并非欧几里得线）分割为每段长度为${\displaystyle 2\lambda }$线段形成的无限边形，为具有${\displaystyle \left[{\frac {i\pi }{\lambda }}\right]}$考克斯特群的罗氏无限边形，可以视为正无限边形的一种类似物。^[5]依据其考克斯特群，其边数和顶点数将会是${\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}$个，事实上它顶点数为正无穷大，边长为${\displaystyle 2\lambda }$，其中${\displaystyle {\frac {i\pi }{\lambda }}}$用来表示超平形（ultraparallel）的镜射，虚数值使镜射变换的角度以一个双曲线的形式，而存在等式${\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=\cos \left({\frac {\pi \lambda }{i\pi }}\right)=\cosh(2\lambda )}$，而${\displaystyle \lambda \in \left\{{\frac {\pi }{n}}\mid n\in {\mathbb {Z}}\right\}}$。

其亦可以视为二维空间的双曲密铺，和三维双曲密铺如：正七边形镶嵌、七阶三角形镶嵌等，做类比^[6]。其属于非紧凑空间。

正伪多边形无法在平面上存在，但可以构造在双曲面。其可以拥有外接圆和内切圆，但他们必须是双曲超圆形。

扭歪伪多边形

扭歪伪多边形（英语：Skew pseudogon）是伪多边形对应的扭歪多边形，即位于非紧双曲空间的双曲扭歪无限边形。

围绕着伪多边形的三角形也可以构造出等边扭歪伪多边形

外接圆为超圆形的无限边形

{3,7}的皮特里多边形	t{3,7}的皮特里多边形
正扭歪	半正扭歪

镶嵌与密铺

正伪多边形不能构成平面镶嵌，但可以构成双曲镶嵌，如三阶伪多边形镶嵌，其考克斯特记号计为。该镶嵌可以视为伪多边形在三维空间的类比，称为伪多面体（pseudohedron）。

二个伪多边形即可完全镶嵌整个双曲平面，称为二阶伪多边形镶嵌。

罗式镶嵌

正		半正
∞.∞	2∞	4.4.∞	3.3.3.∞
{iπ/λ, 2}	{2, iπ/λ}	t{2, iπ/λ}	sr{2, iπ/λ}

半正伪多边形

对称群：[iπ/λ,iπ/λ], (*iπ/λ iπ/λ 2)							[iπ/λ,iπ/λ]+, (iπ/λ iπ/λ 2)
{9i,9i} 超无限阶 伪多边形镶嵌	t{9i,9i} 截角超无限阶 伪多边形镶嵌	r{9i,9i} 截半超无限阶 伪多边形镶嵌	2t{9i,9i}=t{9i,9i} 截角超无限阶 伪多边形镶嵌	2r{9i,9i}={9i,9i} 超无限阶 伪多边形镶嵌	rr{9i,9i} 小斜方截半 超无限阶 伪多边形镶嵌	tr{9i,9i} 大斜方截半 超无限阶 伪多边形镶嵌	sr{9i,9i} 扭棱超无限阶 伪多边形镶嵌

[iπ/λ,3]非紧凑双曲半正镶嵌系列

对称群：[iπ/λ,3], (*∞32)								[iπ/λ,3]+ (∞32)	[1+,iπ/λ,3] (*∞33)		[iπ/λ,3+] (3*∞)
考克斯特记号
			=	=	=				= or	= or	=
图像
顶点图	∞.∞.∞	3.∞.∞	3.∞.3.∞	∞.6.6	3∞	3.4.∞.4	4.6.∞	3.3.3.3.∞	3.∞.3.∞.3.∞
类比	{∞,3}	t{∞,3}	r{∞,3}	t{3,∞}	{3,∞}	rr{∞,3}	tr{∞,3}	sr{∞,3}	h{∞,3}	h2{∞,3}	s{3,∞}
半正对偶
考克斯特记号
图像
顶点布局 类比	V∞3	V3.∞.∞	V(3.∞)2	V6.6.∞	V3∞	V4.3.4.∞	V4.6.∞	V3.3.3.3.∞	V(3.∞)3		V3.3.3.3.3.∞

高维类比

三阶七边形镶嵌蜂巢体的庞加莱模型，每个洞都是一个正七边形镶嵌^[7]

伪多面体（pseudohedron）是伪多边形在三维空间的类比，即在三维非紧双曲空间中的无限面体，又称为超无限面体。例如三阶七边形镶嵌蜂巢体中的正七边形镶嵌，由于要使每个顶点都是3个正七边形镶嵌的公共顶点使得图形被变换到非紧双曲空间中，即几何中心跑到庞加莱模型外，其外接球为三维双曲极限球。

伪多胞体（pseudotope）则为非紧双曲镶嵌在四维或更高维度类比，例如四阶一百二十胞体堆砌（英语：Order-4 120-cell honeycomb）^[8]。

但严格来说，伪多胞形（pseudotope）只会在二维双曲空间讨论，由于二维的考克斯特群表达到无穷之后仍为平面，因此只能用双曲镜射的方式以虚数表达双曲几何图形。

群	赫尔曼莫金记号	轨道流形（英语：Orbifold）	考克斯特	考克斯特图	阶
有限
Zn	n	n•	[n]+		n
Dn	nm	*n•	[n]		2n
仿射
Z∞	∞	∞•	[∞]+		∞
Dih∞	∞m	*∞•	[∞]		∞
双曲
Z∞			[πi/λ]+		∞
Dih∞			[πi/λ]		∞

参见

• 正图形列表