兰道问题

在1912年国际数学家大会中， 爱德蒙·兰道列出了关于素数的四个基本问题。他认为这些问题“在当前的数学认识下无法解决”，后人将这些问题称之为兰道问题。这四个问题如下：

1. 哥德巴赫猜想：是否每一个大于2的偶数都可以写成两个素数之和？
2. 孪生素数猜想：是否存在无穷多个素数p，使得p +2也是素数？
3. 勒让德猜想：是否在所有连续的平方数之间至少存在一个素数？
4. 是否有无穷多个素数p，使得p −1是一个平方数？ 换句话说：是否有无穷多个形式为n² +1的素数？ （OEIS数列A002496）

德国数学家爱德蒙·兰道的玉照。

到2020年为止，所有四个问题都未得到解决。

解答进度

哥德巴赫猜想

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猜想大于5的奇数都可以表示成3个质数之和的弱哥德巴赫猜想是哥德巴赫猜想的一个结果。1937年，苏联数学家伊万·维诺格拉多夫证明了每个充分大的奇数n都可以表示成3个质数之和；^[1]2013年，秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特推广此结果，并完全证明了弱哥德巴赫猜想。^[2][3][4]

陈氏定理是哥德巴赫猜想的另一个弱化形式，这定理指称任意大的正整数n都可表示成${\displaystyle 2n=p+q}$的形式，其中p是质数而q是质数或半质数，^{[note 1]} Bordignon、Johnston和Starichkova三氏^[5]之后对山田^[6]的结果进行修正和改进，并证明了陈氏定理的明确形式：任意大于${\displaystyle e^{e^{32,7}}\approx 1.4\cdot 10^{69057979807814}}$的偶数，都可表示成一个质数和一个至多是两个质数的乘积的自然数的和。

在假定狄利克雷L函数上的广义黎曼猜想成立的状况下，Bordignon和Starichkova两氏^[7]将这下界给改进至${\displaystyle e^{e^{15.85}}\approx 3.6\cdot 10^{3321634}}$；另外Johnston和Starichkova两氏在将“至多是两个质数的乘积的自然数”换成“至多是369个质数的乘积的自然数”的前提下，给出了一个对任意${\displaystyle 4\leq n}$都成立的版本，在广义黎曼猜想成立的状况下，可将369降至33。^[8]

Montgomery（英语：Hugh Montgomery (mathematician)）和Vaughan（英语：Robert Charles Vaughan (mathematician)）两氏证明了说不能表示成两个质数的和的例外偶数的自然密度为零，但目前未能证明说这集合是有限的。^[9]

目前对这例外集合大小最好的结果为对充分大的x而言，有${\displaystyle E(x)<x^{0.72}}$，由Pintz（英语：János_Pintz）得出；^[10][11]而在假定黎曼猜想成立的状况下，Goldston（英语：Daniel Goldston）证明了说${\displaystyle E(x)\ll x^{0.5}\log ^{3}x}$。^[12]

Linnik（英语：Yuri Linnik）证明了说足够大的偶数可表示成两个质数和（某个非有效的）K个2的幂的总和。^[13]在做了许多改进后，Pintz（英语：János_Pintz）和Ruzsa（英语：Imre Z. Ruzsa）两氏^[14]证明了说${\displaystyle K=8}$，且在广义黎曼猜想成立的状况下可将之改进至${\displaystyle K=7}$。^{[15][note 2]}

孪生质数猜想

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2013年张益唐^[16]证明了说有无限多对质数，其彼此的间隙小于七千万，之后在Polymath计划（英语：Polymath Project）的合作者努力下，这数值降至246。^[17]

在广义埃利奥特–哈尔伯斯坦猜想（英语：Elliott–Halberstam conjecture）成立的状况下，可借由詹姆斯·梅纳德^[18]和Goldston（英语：Daniel Goldston）、Pintz（英语：János_Pintz）和Yildirim（英语：Cem Yıldırım）三氏^[19]的结果，将这数值改进至6。

1966年陈景润证明了说有无限多个质数p，使得p+2是质数或半质数。这类的质数后来被人称为陈质数。

勒让德猜想

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可以验证说，p的质数间隙小于${\displaystyle 2{\sqrt {p}}}$。利用最大质数间隙表，可知此猜想对至少大到${\displaystyle 2^{64}\approx 1.8\times 10^{19}}$的质数成立。^[20]一个接近如此大小的反例，其质数间隙至少是平均间隙的一亿倍。

在改进Heath-Brown^[21]和Matomäki^[22]结果的基础下，Järviniemi^[23]证明了说至多只有${\displaystyle x^{7/100+\varepsilon }}$个例外质数，会出现在大于${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$的质数间隙之后；特别地，以下关系式成立：

${\displaystyle \sum _{\stackrel {p_{n+1}-p_{n}>{\sqrt {p_{n}}}^{1/2}}{p_{n}\leq x}}p_{n+1}-p_{n}\ll x^{0.57+\varepsilon }.}$

从艾伯特·英厄姆（英语：Albert Ingham）对质数间隙的结果可得出，对于足够大的${\displaystyle n}$而言，在完全立方数${\displaystyle n^{3}}$及${\displaystyle (n+1)^{3}}$之间总有一个质数。^[24]

X²+1质数

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兰道的第四个问题问的是，若n是整数，是否有无限多个形如${\displaystyle p=n^{2}+1}$的质数。（A002496列出了有如此形式的质数）这猜想可由诸如布尼亚科夫斯基猜想和Bateman–Horn猜想（英语：Bateman–Horn conjecture）等数论猜想立即推出。截至2024年 (2024-Missing required parameter 1=month!)^[update]为止，这问题依旧开放。

一个有如此形式质数的例子是费马质数；另外亨里克·伊万尼兹证明了有无限多个形如${\displaystyle n^{2}+1}$的数，有至多两个质因数。^[25][26]

Ankeny（英语：Nesmith Ankeny）^[27]和Kubilius（英语：Jonas Kubilius）^[28]两氏证明，在对赫克特征（英语：Hecke character）的L函数的扩展黎曼猜想成立的状况下，会有无限多形如${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$且${\displaystyle y=O(\log p)}$的质数。兰道的猜想问的是更强的${\displaystyle y=1}$的情况；而目前最好的无条件结果由Harman和Lewis两氏所证明^[29]，其中${\displaystyle y=O(p^{0.119})}$。

在改进前人结果的基础下，^{[30][31][32][33][34]}Merikoski^[35]证明了说有无限多个形如${\displaystyle n^{2}+1}$的数，其最大的质因数的大小至少为${\displaystyle n^{1.279}}$。^{[note 3]}将指数项改进为2即可证明兰道的猜想。

弗里兰-伊万尼兹定理（英语：Friedlander–Iwaniec theorem）指出有无限多的质数可表成${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$的形式。^[36]

Baier和赵两氏^[37]证明说有无限多形如${\displaystyle p=an^{2}+1}$的质数，其中${\displaystyle a<p^{5/9+\varepsilon }}$。在广义黎曼猜想成立的状况下，a指数项的部分可改进至${\displaystyle 1/2+\varepsilon }$，且在特定类似埃利奥特–哈尔伯斯坦猜想（英语：Elliott–Halberstam conjecture）的猜想成立的状况下可改进至${\displaystyle \varepsilon }$。

利用布朗筛法可得出说形如${\displaystyle p=n^{2}+1}$的质数的密度的上界：对于不大于${\displaystyle x}$的数而言，至多有${\displaystyle O({\sqrt {x}}/\log x)}$形如X²+1的质数。因此几乎所有形如X²+1的数都是合成数。

参见

• 未解决的数学问题
• 希尔伯特问题