几何积分

在常微分方程的数值计算中，几何积分是一种保留微分方程的流的精确几何特性的数值方法。

以摆为例

可考虑单摆运动以引出几何积分的研究。

设摆锤质量为${\displaystyle m=1}$，摆杆长度为${\displaystyle \ell =1}$。设重力加速度为${\displaystyle g=1}$。用${\displaystyle q(t)}$表示杆偏移垂直方向的角位移，并用${\displaystyle p(t)}$表示摆的动量，则系统的哈密顿量（动能与势能之和）为

${\displaystyle H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac {1}{2}}p^{2}-\cos q,}$

其给出哈密顿方程

${\displaystyle ({\dot {q}},{\dot {p}})=(\partial H/\partial p,-\partial H/\partial q)=(p,-\sin q).\,}$

很自然，可将所有${\displaystyle q}$的位形空间${\displaystyle Q}$看做单位圆${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}}$，这样${\displaystyle (q,p)}$就位于圆柱体${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R} }$上。取${\displaystyle (q,p)\in \mathbb {R} ^{2}}$只是因为${\displaystyle (q,p)}$空间会更方便绘制。定义${\displaystyle z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }}$、${\displaystyle f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }}$。让我们用一些简单的数值方法对这个系统进行积分。像往常一样，选择常数步长${\displaystyle h}$，对任意非负整数${\displaystyle k}$记${\displaystyle z_{k}:=z(kh)}$。 我们用以下方法：

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k})\,}$（显式欧拉）；

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k+1})\,}$（隐式欧拉）；

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf(q_{k},p_{k+1})\,}$（辛欧拉）；

${\displaystyle z_{k+1}=z_{k}+hf((z_{k+1}+z_{k})/2)\,}$（隐式中点法则）。

（注意，辛欧拉法用显式欧拉法处理q，用隐式欧拉法处理${\displaystyle p}$。）

观察到${\displaystyle H}$在哈密顿方程的解曲线上是常数，于是可以描述系统的精确轨迹，是${\displaystyle p^{2}/2-\cos q}$的水平曲线。在${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$中绘制了系统的精确轨迹和数值解。对显式、隐式欧拉法，分别取${\displaystyle h=0.2}$；z₀ = (0.5, 0)及(1.5, 0)；对其他两种方法，分别取${\displaystyle h=0.3}$、z₀ = (0, 0.7)；(0, 1.4)及(0, 2.1)。

单摆轨迹

显式（或隐式）欧拉法是从原点向外（或向内）的螺旋运动。另两种方法显示了正确的定性行为，隐式中点法则与精确解的吻合程度高于辛欧拉法。

回顾一下，具有1自由度的哈密顿系统的精确流${\displaystyle \phi _{t}}$是保面积的，即

${\displaystyle \det {\frac {\partial \phi _{t}}{\partial (q_{0},p_{0})}}=1}$ for all ${\displaystyle t}$.

此式很容易手动验证。对我们的单摆例子，可以发现，显式欧拉法的数值流${\displaystyle \Phi _{{\mathrm {eE} },h}:z_{k}\mapsto z_{k+1}}$不保面积；即

${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {eE} },h}(z_{0})={\begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.}$

隐式欧拉法也可进行类似计算，行列式为

${\displaystyle \det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {iE} },h}(z_{0})=(1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.}$

辛欧拉法是保面积的：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE} },h}(z_{0})={\begin{pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},}$

于是${\displaystyle \det(\partial \Phi _{{\mathrm {sE} },h}/\partial (q_{0},p_{0}))=1}$。隐式中点法则具有类似的几何特性。

总结：单摆例表明，除显式、隐式欧拉法不是解决问题的好方法外，辛欧拉法和隐式中点法则与系统的精确流非常吻合，后者更精确。而且后两种方案与精确流都保面积，是几何积分（实际上是辛积分）的两个例子。

活动标架法

活动标架法可用于构建保持ODE李对称性的数值方法。龙格-库塔法等现有方法可用活动标架法进行修改，以产生不变版本。^[1]

另见

• 能量漂移