刘维尔–阿诺德定理

动力系统理论中，刘维尔–阿诺德定理指出，若在具有n自由度的哈密顿力学系统中，存在n个泊松交换的独立第一运动积分，且能级集是紧的，则就存在到作用量-角度坐标的正则变换，变换后的哈密顿量只依赖于作用量坐标，角度坐标随时间线性变化。因此，若能分离级同时集（level simultaneous set）条件，系统的运动方程便可通过化方求解。定理得名于约瑟夫·刘维尔和弗拉基米尔·阿诺德。^{[1][2][3][4][5]（pp. 270–272）}

历史

定理的原始形式是刘维尔于1853年针对${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$上具有规范辛结构的函数证明的。阿诺德在1974年出版的教科书《经典力学的数学方法》中给出了到辛流形的推广。

陈述

初步定义

令${\displaystyle (M^{2n},\omega )}$是${\displaystyle 2n}$维辛流形，具有辛结构${\displaystyle \omega }$。

${\displaystyle M^{2n}}$上的可积系统是${\displaystyle M^{2n}}$上的n个函数组成的集合，记作${\displaystyle F=(F_{1},\cdots ,F_{n})}$，满足

• （一般）线性独立：稠密集上${\displaystyle dF_{1}\wedge \cdots \wedge dF_{n}\neq 0}$
• 相互泊松交换：泊松括号${\displaystyle (F_{i},F_{j})}$对任意一对${\displaystyle i,j}$都为0

泊松括号是每个${\displaystyle F_{i}}$对应的哈密顿向量场的李氏括号。简单说，若${\displaystyle X_{H}}$是对应于光滑函数${\displaystyle H:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} }$的哈密顿向量场，则对两光滑函数${\displaystyle F,G}$，泊松括号是${\displaystyle (F,G)=[X_{F},X_{G}]}$。

若${\displaystyle df_{1}\wedge \cdots \wedge df_{n}(p)\neq 0}$，则称点p是正则点（regular point）。

可积系统定义了函数${\displaystyle F:M^{2n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$。${\displaystyle L_{\mathbf {c} }}$表示函数${\displaystyle F_{i}}$的水平集 $${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=\{x:F_{i}(x)=c_{i}\},}$$ 或记作${\displaystyle L_{\mathbf {c} }=F^{-1}(\mathbf {c} )}$。

若给${\displaystyle M^{2n}}$附加一个区分函数H的结构，则当H可以补全（completed）为可积系统时（即存在可积系统${\displaystyle F=(F_{1}=H,F_{2},\cdots ,F_{n})}$），哈密顿系统${\displaystyle (M^{2n},\omega ,H)}$是可积的。

定理

若${\displaystyle (M^{2n},\omega ,F)}$是可积哈密顿系统、p是正则点，则定理描述了正则点的像${\displaystyle c=F(p)}$的水平集${\displaystyle L_{c}}$：

• ${\displaystyle L_{c}}$是光滑流形，在由${\displaystyle H=F_{1}}$引发的哈密顿流作用下不变（因此在可积系统的任何元素引发的哈密顿流下也不变）。
• 若${\displaystyle L_{c}}$更紧且连通，则就微分同胚于N-环面${\displaystyle T^{n}}$。
• ${\displaystyle L_{c}}$上存在（局部）坐标${\displaystyle (\theta _{1},\cdots ,\theta _{n},\omega _{1},\cdots ,\omega _{n})}$，使得${\displaystyle \omega _{i}}$在水平集上为常，而${\displaystyle {\dot {\theta }}_{i}:=(H,\theta _{i})=\omega _{i}}$。这些坐标称作作用量-角度坐标。

刘维尔可积系统例子

可积的哈密顿系统可称作“刘维尔意义上可积”或“刘维尔可积”。比较知名的例子如下。

一些记号是文献中的标准符号。考虑的辛流形是${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$时，其坐标通常写作${\displaystyle (q_{1},\cdots ,q_{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$，规范辛形式是${\displaystyle \omega =\sum _{i}dq_{i}\wedge dp_{i}}$。除非另有说明，否则本节将假设这些参数。

• 哈密顿谐振子：${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2n},\omega ,H)}$，其中${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=\sum _{i}\left({\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}\right)}$。定义${\displaystyle H_{i}={\frac {p_{i}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{i}^{2}q_{i}^{2}}$，可积系统是${\displaystyle (H,H_{1},\cdots ,H_{n-1})}$。

• 连心力系统${\displaystyle (\mathbb {R} ^{6},\omega ,H)}$，其中${\displaystyle H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2m}}-U(\mathbf {q} ^{2})}$，U是某势函数。定义角动量${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {p} \times \mathbf {q} }$，可积系统是${\displaystyle (H,\mathbf {L} ^{2},L_{3})}$。

• 可积陀螺：拉格朗日、欧拉、柯瓦列夫斯卡娅陀螺（英语：Lagrange, Euler, and Kovalevskaya tops）是刘维尔可积的。

另见

• 弗罗贝尼乌斯定理
• 可积系统