加权射影空间

代数几何中，加权射影空间${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0},\ \ldots ,\ a_{n})}$是与分次环${\displaystyle k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}]}$相关联的射影簇${\displaystyle {\rm {Proj}}(k[x_{0},\ \ldots ,\ x_{n}])}$，其中簇x_k的度为a_k。

性质

• 有正整数d，则${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ \ldots ,\ a-n)}$与${\displaystyle \mathbf {P} (da_{0},\ da_{1},\ \ldots ,\ da_{n})}$同构。这是所谓射影结构的性质；从几何学角度看，它对应于d元委罗内塞嵌入。因此，在不失一般性的前提下，可以假设${\displaystyle a_{i}}$的度数没有公因子。

• 假设${\displaystyle a-0,\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}}$没有公因子，且d是所有${\displaystyle i\neq j}$的${\displaystyle a_{i}}$的公因子，则${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})}$与${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0}/d,\ldots ,\ a_{j-1}/d,\ a_{j},\ a_{j+1}/d,\ldots ,\ a_{n}/d)}$同构（其中d与${\displaystyle a_{j}}$互质；否则同构不成立）。因此可以进一步假设，任何由n个变量组成的集合${\displaystyle a_{i}}$都没有公因子。称这样的加权射影空间“结构良好”（well-formed）。
• 加权射影空间位移的奇异点是循环商奇异点。
• 加权射影空间是Q法诺簇^[1]，也是环面簇。
• 加权射影空间${\displaystyle \mathbf {P} (a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n})}$与射影空间对对角作用的${\displaystyle a_{0},\ a_{1},\ldots ,\ a_{n}}$阶的单位之根的积群的商同构。^[2]