卡汉常数

卡汉常数（英语：Cahen's constant）是一个用正负号交替的无穷级数定义的常数，级数的各项是单位分数，分母为西尔维斯特数列的各项减1：

${\displaystyle C=\sum {\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{1806}}-\cdots \approx 0.64341054629.}$

卡汉常数

卡汉常数
识别
种类	无理数 超越数
符号	${\displaystyle C}$
位数数列编号	A118227
性质
连分数	[0;1,1,1,4,9,196,16641,...]
表示方式
值	${\displaystyle C\approx }$0.643410546...
无穷级数	${\displaystyle C=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{s_{i}-1}}}$
二进制	0.101001001011011010001101…
十进制	0.643410546288338026182254…
十六进制	0.A4B68DB635BC66725E4C48FA…

若二项二项的考虑上述级数，可以将卡汉常数视为由西尔维斯特数列偶数项为分母的正单位分数形成的级数，卡汉常数的数列为其古埃及分数的贪心法分解：

${\displaystyle C=\sum {\frac {1}{s_{2i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{1807}}+{\frac {1}{10650056950807}}+\cdots }$

此常数是由尤金·卡汉（Eugène Cahen）定义，也称为卡汉-梅林积分（Cahen-Mellin integral），他最早观察到此一级数(Cahen 1891)。

连分数展开

卡汉常数已知是超越数，其著名之处是它是自然出现的超越数中，少数可以求得完整连分数展开的数，若定义以下数列

1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, ... （OEIS数列A006279）

定义方式是由以下的递回关系式

${\displaystyle q_{n+2}=q_{n}^{2}q_{n+1}+q_{n}}$

则卡汉常数的连分数展开可以表示如下：

${\displaystyle [0,1,q_{0}^{2},q_{1}^{2},q_{2}^{2},\ldots ]}$

Davison和Jeffrey Shallit曾用上述的连分数展开证明卡汉常数是超越数。 (Davison & Shallit 1991).

参考资料

• Cahen, Eugène, Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues, Nouvelles Annales de Mathématiques, 1891, 10: 508–514
• Davison, J. Les; Shallit, Jeffrey O., Continued fractions for some alternating series, Monatshefte für Mathematik, 1991, 111 (2): 119–126, doi:10.1007/BF01332350

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Cahen's Constant. MathWorld.
• The Cahen constant to 4000 digits, Plouffe's Inverter (Université du Québec à Montréal), [2011-03-19], （原始内容存档于2011-03-17）