外代数

外代数（英语：Exterior algebra）也称为格拉斯曼代数（Grassmann algebra），以纪念数学家赫尔曼·格拉斯曼。

左图：由向量的有序集所定义出的定向

右图：反定向，对应到加上负号的外积

实外代数中，n 阶元素的几何诠释：n = 0（具有正负号的点），1（具有指向的线段，即向量），2（具有定向的平面元），3（具有定向的体积）。n个向量的外积可以图像化为n维几何物体（例如n维平行六面体, n维椭球）；其大小为超体积（hypervolume），其定向的定义由(n − 1)维边界以及物体内部在哪一侧来决定。^[1][2]

数学上，向量空间${\displaystyle V}$的外代数是一个特定有单位的结合代数，其包含了${\displaystyle V}$为其中一个子空间。它记为${\displaystyle \land (V)}$或${\displaystyle \land \cdot (V)}$. 而它的乘法，称为楔积或外积，记为${\displaystyle \land }$. 楔积是结合的和双线性的；其基本性质是它在${\displaystyle V}$上是交错的，也就是：

${\displaystyle v\wedge v=0}$，对于所有向量${\displaystyle v\in V}$

这表示

${\displaystyle u\wedge v=-v\wedge u}$，对于所有向量${\displaystyle u,v\in V}$，以及

${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}\wedge \cdots \wedge v_{k}=0}$，当${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$ 线性相关时。

值得注意的是，以上三性质只对${\displaystyle V}$中向量成立，不是对代数${\displaystyle \land (V)}$中所有向量成立。

外代数事实上是“最一般的”满足这些属性的代数。这意味着所有在外代数中成立的方程只从上述属性就可以得出。${\displaystyle \land (V)}$的这个一般性形式上可以用一个特定的泛性质表示，请参看下文。

形式为${\displaystyle v_{1}\land v_{2}\land \ldots \land v_{k}}$的元素，其中${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$在${\displaystyle V}$中，称为${\displaystyle k}$-向量。所有${\displaystyle k}$-向量生成的${\displaystyle \land (V)}$的子空间称为${\displaystyle V}$的${\displaystyle k}$-阶外幂，记为${\displaystyle \land ^{k}(V)}$。外代数可以写作每个${\displaystyle k}$阶幂的直和：

${\displaystyle \Lambda (V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\Lambda ^{k}V}$

该外积有一个重要性质，就是${\displaystyle k}$-向量和${\displaystyle I}$-向量的积是一个${\displaystyle k+I}$-向量。这样外代数成为一个分次代数，其中分级由${\displaystyle k}$给出。这些${\displaystyle k}$-向量有几何上的解释：2-向量${\displaystyle u\land v}$代表以${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$为边的带方向的平行四边形，而3-向量${\displaystyle u\land v\land w}$代表带方向的平行六面体，其边为${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$, 和${\displaystyle w}$。

外幂的主要应用在于微分几何，其中他们用来定义微分形式。因而，微分形式有一个自然的楔积。所有这些概念由格拉斯曼提出。

定义及运算律

外代数有很多种等价的定义，下面的定义是最简洁的一个。

定义: 设 ${\displaystyle V}$是域 ${\displaystyle K}$上的一个向量空间，让${\displaystyle T^{k}(V):={\underset {k}{\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} }}}$则定义

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \ldots }$

令 ${\displaystyle I}$为 ${\displaystyle V}$的张量代数的理想（即双边理想），该理想是由所有形如${\displaystyle v\otimes v}$的张量生成的（其中${\displaystyle v\in V}$任意），则将${\displaystyle V}$上的外代数${\displaystyle \Lambda (V)}$定义为商代数${\displaystyle T(V)/I}$，即

${\displaystyle \Lambda (V):=T(V)/I,}$

并且把${\displaystyle v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}\in T^{k}V}$的等价类^[3]${\displaystyle [v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in T(V)/I}$记为${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}}$，其中 ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}\in V}$。设${\displaystyle k=0,1,2,\ldots \,,}$ 称

${\displaystyle \Lambda ^{k}(V):=(T^{k}V)/I}$

为${\displaystyle V}$的${\displaystyle k}$-阶外幂（${\displaystyle k}$th exterior power of ${\displaystyle V}$），称${\displaystyle \land ^{k}(V)}$中的元素为${\displaystyle k}$-向量（${\displaystyle k}$-multivector）。

注：

1. ${\displaystyle \forall \lambda \in K}$，当且仅当${\displaystyle \lambda =0}$时才有${\displaystyle \lambda \in I}$，因此，可以把${\displaystyle \Lambda ^{0}(V)=K/I}$等同于${\displaystyle K}$，并且把${\displaystyle [\lambda ]\in \Lambda ^{0}(V)}$记为${\displaystyle \lambda }$；基于类似的原因，可以把${\displaystyle \Lambda ^{1}(V)=V/I}$等同于${\displaystyle V}$，而且把${\displaystyle [v]\in \Lambda ^{0}(V)}$记为${\displaystyle v}$。这一点是前面所讲的能够把${\displaystyle [v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{k}]\in \Lambda ^{k}(V)}$记为 ${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}}$的特例和前提。
2. 当${\displaystyle k>1}$时，${\displaystyle k}$-向量并不仅限于形如${\displaystyle v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{k}}$的元素，例如，${\displaystyle v_{1}\wedge v_{2}+w_{1}\wedge w_{2}}$也是2-向量，其中${\displaystyle v_{1},v_{2},w_{1},w_{2}\in V}$.
3. 理想${\displaystyle I}$中的元素并不仅限于形如${\displaystyle v\otimes v}$的张量，例如，
   1. ${\displaystyle \forall v\in V,\forall t\in T(V)}$, 必定有 ${\displaystyle v\otimes v\otimes t\in I}$和${\displaystyle t\otimes v\otimes v\in I}$.
   2. ${\displaystyle \forall v,w\in V}$, 由于${\displaystyle (v+w)\otimes (v+w)\in I}$和${\displaystyle v\otimes v\in I}$以及${\displaystyle w\otimes w\in I}$，显然有${\displaystyle v\otimes w+w\otimes v=(v+w)\otimes (v+w)-v\otimes v-w\otimes w\in I}$，这就有一个推论：所有的二阶对称张量都在理想${\displaystyle I}$中。
   3. 由于上面的两个结论，${\displaystyle \forall v,w\in V}$，我们有${\displaystyle v\otimes w\otimes v=v\otimes (w\otimes v+v\otimes w)-v\otimes v\otimes w\in I}$，这是因为等式右边的每一项都在${\displaystyle I}$中。对张量${\displaystyle t\in T(V)}$的阶数作数学归纳法，则可以证明：${\displaystyle \forall v\in V}$, ${\displaystyle \forall t\in T(V)}$，总有${\displaystyle v\otimes t\otimes v\in I}$。
4. 设${\displaystyle k=2,3,\ldots }$，则${\displaystyle \forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)}$，${\displaystyle \alpha }$作为等价类含有唯一的一个完全反对称的代表元${\displaystyle t\in T^{k}(V)}$，可以把这个${\displaystyle k}$-阶的完全反对称张量等同于${\displaystyle \alpha }$, 详见后面的“反对称算子和外幂”一节。在有些文献中，${\displaystyle k}$-向量就是以这种方式定义的。

运算律 将上面的注中的内容用${\displaystyle \wedge }$写出，则分别给出

(1) ${\displaystyle \forall \lambda \in K,\alpha \in \Lambda (V)}$, ${\displaystyle \lambda \wedge \alpha =\alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha .}$

证明如下： 作为等价类，我们从${\displaystyle \alpha \in \Lambda (V)=T(V)/I}$中任意挑选一个代表元${\displaystyle t}$，则${\displaystyle t\in T(V)}$而且${\displaystyle \alpha =[t]}$。根据商代数的定义，

${\displaystyle \lambda \wedge \alpha =[\lambda ]\wedge [t]=[\lambda \otimes t]=[\lambda t]=\lambda [t]=\lambda \alpha .}$

类似地，可以证明${\displaystyle \alpha \wedge \lambda =\lambda \alpha \,.}$

(2) 根据注3.1中的内容，显然有${\displaystyle v\wedge v=0,\,\forall v\in V}$.

(3) 根据注3.2中的内容，对任意${\displaystyle v,w\in V}$成立着

${\displaystyle v\wedge w=-w\wedge v.}$

注：即使${\displaystyle K}$的特征为2，这个公式也是对的，只不过此时有${\displaystyle -1=1}$而已。

(4) 根据商代数的定义以及张量代数的性质，运算${\displaystyle \wedge :\Lambda (V)\times \Lambda (V)\rightarrow \Lambda (V)}$满足结合律和分配律：

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),}$

${\displaystyle (\alpha +\beta )\wedge \theta =\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta ,}$

${\displaystyle \alpha \wedge (\beta +\theta )=\alpha \wedge \beta +\alpha \wedge \theta ,}$

其中${\displaystyle \alpha ,\beta ,\theta \in \Lambda (V)}$都是任意的。

以前两条性质为例，其证明如下：设张量${\displaystyle a,b,t\in T(V)}$分别是${\displaystyle \alpha ,\beta ,\theta }$中的代表元，即${\displaystyle \alpha =[a]}$, ${\displaystyle \beta =[b]}$, ${\displaystyle \theta =[t]}$, 则

${\displaystyle (\alpha \wedge \beta )\wedge \theta =([a]\wedge [b])\wedge [t]=[a\otimes b]\wedge [t]=[(a\otimes b)\otimes t]=[a\otimes (b\otimes t)]=[a]\wedge [b\otimes t]=[a]\wedge ([b]\wedge [t])=\alpha \wedge (\beta \wedge \theta ),}$

${\displaystyle (\alpha +\beta )\wedge \theta =([a]+[b])\wedge [t]=[a+b]\wedge [t]=[(a+b)\otimes t]=[a\otimes t+b\otimes t]=[a\otimes t]+[b\otimes t]=[a]\wedge [t]+[b]\wedge [t]=\alpha \wedge \theta +\beta \wedge \theta .}$

(5) 根据上面的(3)和(4)，用数学归纳法可以证明：${\displaystyle \forall \alpha \in \Lambda ^{k}(V)\,,\,\beta \in \Lambda ^{l}(V)\,,}$

${\displaystyle \beta \wedge \alpha =(-1)^{kl}\alpha \wedge \beta .}$

证明从略。

基底和维数

若${\displaystyle V}$的维数是${\displaystyle n}$而${\displaystyle \left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\}}$是${\displaystyle V}$的基，则集合

${\displaystyle \{e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\}}$

是${\displaystyle k}$阶外幂${\displaystyle \land ^{k}(V)}$的一个基。理由如下：给定任何如下形式的楔积

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k}}$

则每个向量${\displaystyle v_{j}}$可以记为基向量${\displaystyle e_{i}}$的一个线性组合；利用楔积的双线性性质，这可以扩张为那些基向量的楔积的线性组合。任何出现同样基向量两次的楔积为0；任何基向量出现的次序不正确的可以重新排序，在交换任何两个基向量的时候变换符号。一般来讲，最后基${\displaystyle k}$-向量前的系数可以用通过积${\displaystyle e_{i}}$来描述${\displaystyle v_{j}}$的矩阵的子式来计算。

数一下基元素，我们可以看到${\displaystyle \land ^{k}(V)}$的维数是n 取 k。特别的有， ${\displaystyle \land ^{k}(V)=\left\{0\right\}}$对于${\displaystyle k>n}$.

外代数是一个分级代数，是如下直和

${\displaystyle \Lambda (V)=\Lambda ^{0}(V)\oplus \Lambda ^{1}(V)\oplus \Lambda ^{2}(V)\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}(V)}$

其维数等于二项式系数之和，也就是${\displaystyle 2^{n}}$.

例子: 欧氏三维空间的外代数

考虑空间${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$，其基为${\displaystyle \left\{i,j,k\right\}}$。一对向量

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{1}\mathbf {i} +u_{2}\mathbf {j} +u_{3}\mathbf {k} }$

${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {i} +v_{2}\mathbf {j} +v_{3}\mathbf {k} }$

的楔积为

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} )+(u_{1}v_{3}-u_{3}v_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} )+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}$

其中${\displaystyle \left\{i\land j,i\land k,j\land k\right\}}$是三维空间${\displaystyle \land ^{2}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$的基底。

再加一个向量

${\displaystyle \mathbf {w} =w_{1}\mathbf {i} +w_{2}\mathbf {j} +w_{3}\mathbf {k} }$,

这三个向量的楔积是

${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}$

其中${\displaystyle i\land j\land k}$是一维空间${\displaystyle \land ^{3}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$的基底。

空间${\displaystyle \land ^{1}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$是${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, 而空间${\displaystyle \land ^{0}\left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$是${\displaystyle \mathbb {R} }$。取所有四个子空间的直和得到一个向量空间${\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$，这是八维向量空间

${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5},a_{6},a_{7},a_{8}):=(a_{1},a_{2}\mathbf {i} +a_{3}\mathbf {j} +a_{4}\mathbf {k} ,a_{5}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} +a_{6}\mathbf {i} \wedge \mathbf {k} +a_{7}\mathbf {j} \wedge \mathbf {k} ,a_{8}\mathbf {i} \wedge \mathbf {j} \wedge \mathbf {k} )}$.

那么，给定一对8维向量${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$, 其中${\displaystyle a}$如上给出，而

${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},b_{5},b_{6},b_{7},b_{8})}$,

${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$的楔积如下(用列向量表达),

${\displaystyle \mathbf {a} \wedge \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\\a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\a_{1}b_{3}+a_{3}b_{1}\\a_{1}b_{4}+a_{4}b_{1}\\a_{1}b_{5}+a_{5}b_{1}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{1}b_{6}+a_{6}b_{1}+a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2}\\a_{1}b_{7}+a_{7}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\\a_{1}b_{8}+a_{8}b_{1}+a_{2}b_{7}+a_{7}b_{2}-a_{3}b_{6}-a_{6}b_{3}+a_{4}b_{5}+a_{5}b_{4}\end{pmatrix}}}$.

容易验证8维楔积以向量${\displaystyle \left(1,0,0,0,0,0,0,0\right)}$为乘法幺元。也可以验证该${\displaystyle \land \left(\mathbb {R} ^{3}\right)}$代数的楔积是结合的(也是双线性的):

${\displaystyle (\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} )\wedge \mathbf {c} =\mathbf {a} \wedge (\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} )\qquad \qquad \forall \,\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} \in \Lambda (\mathbf {R} ^{3}),}$

所以该代数是有单位且结合的。

叉乘的实质，赝向量与赝标量

对三维欧几里得空间${\displaystyle E^{3}}$可以建立一个线性同构${\displaystyle \phi :\Lambda ^{2}(E^{3})\rightarrow E^{3}}$如下：任取${\displaystyle E^{3}}$的右手的标准正交基${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$，规定${\displaystyle \phi }$把${\displaystyle {\boldsymbol {i}}\wedge \mathbf {j} }$，${\displaystyle {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {k}}\wedge {\boldsymbol {i}}}$分别映射为${\displaystyle {\boldsymbol {k}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {i}}}$，${\displaystyle {\boldsymbol {j}}}$，则${\displaystyle \phi }$的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量${\displaystyle {\boldsymbol {u}}}$和${\displaystyle {\boldsymbol {v}}}$，这个线性同构把${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}}$映射为${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}$。这就是叉乘（向量积）的实质。例如，${\displaystyle E^{3}}$中平行四边形${\displaystyle ABCD}$的面积向量可以表示为${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}}$. 经过推广之后，高维黎曼流形${\displaystyle (M,\mathbf {g} )}$中的紧的二维曲面${\displaystyle \Sigma }$的面积则可以用

${\displaystyle \int _{\Sigma }{\sqrt {h}}\,du^{1}\wedge du^{2}\,,\qquad h=\left|{\begin{array}{cc}h_{11}&h_{12}\\h_{21}&h_{22}\end{array}}\right|\,,}$

来计算（其中${\displaystyle h_{ab}}$是度规张量场${\displaystyle \mathbf {g} }$在${\displaystyle \Sigma }$上的诱导度规 ${\displaystyle \mathbf {h} =h_{ab}\,du^{a}\otimes du^{b}}$ 的坐标分量），由此可以看到外积和叉乘的深刻关系。

在物理学中，向量（极向量）与赝向量（轴向量）两个概念经常需要加以区分。从根本上说，向量是${\displaystyle E^{3}}$中的元素，所以在空间反演变换下不会改变方向；而赝向量其实是${\displaystyle \Lambda ^{2}(E^{3})}$中的元素，故在空间反演变换下会改变方向。

类似地，借助于右手的标准正交基，可以把${\displaystyle \Lambda ^{3}(E^{3})}$中的元素${\displaystyle a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}}$映射为“标量"${\displaystyle a\in \mathbb {R} =\Lambda ^{0}(E^{3})}$。但是，在空间反演变换下它就会原形毕露，所以称它为赝标量。真正的标量在空间反演下是不变的，而赝标量在空间反演下会改变符号。

把 2-向量${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\wedge {\boldsymbol {v}}}$映射为向量${\displaystyle {\boldsymbol {u}}\times {\boldsymbol {v}}}$以及把 3-向量${\displaystyle a\,{\boldsymbol {i}}\wedge {\boldsymbol {j}}\wedge {\boldsymbol {k}}}$映射为一个实数${\displaystyle a}$的映射实际上是一个叫做霍奇对偶的线性映射。

泛性质及构造

令${\displaystyle V}$为一个域${\displaystyle K}$（在多数应用中，也就是实数域）上的向量空间。${\displaystyle \land (V)}$是“最一般”的包含${\displaystyle V}$的并有一个交替乘法在${\displaystyle V}$上由单位的结合${\displaystyle K}$-代数这个事实可以用如下的泛性质形式化的表达：

任给一个有单位的结合 ${\displaystyle K}$-代数${\displaystyle A}$和一个${\displaystyle K}$-线性映射${\displaystyle j:V\rightarrow A}$使得${\displaystyle j(v)j(v)=0}$对于每个${\displaystyle v}$属于${\displaystyle V}$成立，则存在恰好一个由单位的代数同态${\displaystyle f:\land (V)\rightarrow A}$使得${\displaystyle f(v)=j(v)}$所有${\displaystyle v}$属于${\displaystyle V}$成立。

外代数的泛性质

要构造最一般的包含${\displaystyle V}$的代数，而且其乘法是在${\displaystyle V}$上交替的，很自然可以从包含${\displaystyle V}$的最一般的代数开始，也就是张量代数${\displaystyle T(V)}$，然后通过合适的商来强制交替的性质。这样我们取${\displaystyle T(V)}$中由所有形为${\displaystyle v\otimes v}$的元素生成的双边理想${\displaystyle I}$，其中${\displaystyle v}$属于${\displaystyle V}$，并定义${\displaystyle \land (V)}$为商

${\displaystyle \land (V)=T(V)/I}$

（并且使用${\displaystyle \land }$为${\displaystyle \land (V)}$中的乘法的代号）。然后可以直接证明${\displaystyle \land (V)}$包含${\displaystyle V}$并且满足上述泛性质。

如果不是先定义${\displaystyle \land (V)}$然后把外幂${\displaystyle \land ^{k}(V)}$等同为特定的子空间，我们也可以先定义空间${\displaystyle \land ^{k}(V)}$然后把它们合并成为一个代数${\displaystyle \land (V)}$。这个方法在微分集合中常常用到，并在下节中有描述。

反对称算子和外幂

给定两个向量空间${\displaystyle V}$和${\displaystyle X}$，一个从${\displaystyle V^{k}}$到${\displaystyle X}$的反对称算子是一个多线性映射

${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}$

使得只要${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}$是${\displaystyle V}$中线性相关的向量，则

${\displaystyle f\left(v_{1},\ldots ,v_{k}\right)=0}$.

最著名的例子是行列式值，从${\displaystyle (K^{n})^{n}}$到${\displaystyle K}$的反对称线形算子。

映射

${\displaystyle w:V^{k}\rightarrow \land ^{k}(V)}$

它关联${\displaystyle V}$中的${\displaystyle k}$个向量到他们的楔积，也就是它们相应的${\displaystyle k}$-向量，这也是反对称的。事实上，这个映射是定义在${\displaystyle V^{k}}$上的“最一般”的反对称算子：给定任何其它反对称算子${\displaystyle f:V^{k}\rightarrow X}$，存在一个唯一的线性映射${\displaystyle \varphi :\land ^{k}(V)\rightarrow X\mathrm {with} f=\varphi \circ w}$。这个泛性质表述了空间${\displaystyle \land ^{k}(V)}$并且可以作为它的定义。

所有从${\displaystyle V^{k}}$到基域${\displaystyle K}$的反对称映射组成一个向量空间，因为两个这样的映射的和、或者这样一个映射和一个标量的乘积也是反对称的。若${\displaystyle V}$是有限维的，维数${\displaystyle n}$，则该空间可以认同为${\displaystyle \land ^{k}(V^{*})}$，其中${\displaystyle V^{*}}$表示${\displaystyle V}$的对偶空间。特别的有，从${\displaystyle V^{k}}$到${\displaystyle K}$的反对称映射的空间是${\displaystyle n}$取${\displaystyle k}$维的。

在这个等同关系下，若基域是${\displaystyle R}$或者${\displaystyle C}$，楔积有一个具体的形式：它从两个给定的反对称映射得到一个新的反对称映射。设${\displaystyle \omega :V^{k}\rightarrow K}$和${\displaystyle \eta :V^{m}\rightarrow K}$为两个反对称映射。和在多线性映射的张量积的情况一样，楔积的变量数是每个映射的变量数之和。它定义如下：

${\displaystyle \omega \wedge \eta ={\frac {(k+m)!}{k!\,m!}}{\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )}$

其中多线性映射的交替${\displaystyle \mathrm {Alt} }$定义为其变量的所有排列的带符号平均：

${\displaystyle {\rm {Alt}}(\omega )(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in S_{k}}{\rm {sgn}}(\sigma )\,\omega (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (k)})}$

注意： 有一些书中楔积定义为

${\displaystyle \omega \wedge \eta ={\rm {Alt}}(\omega \otimes \eta )}$

指标记法

在主要由物理学家使用的指标记法中有：

${\displaystyle (\omega \wedge \eta )_{a_{1}\cdots a_{k+m}}={\frac {1}{k!m!}}\epsilon _{a_{1}\cdots a_{k+m}}^{b_{1}\cdots b_{k}c_{1}\cdots c_{m}}\omega _{b_{1}\cdots b_{k}}\eta _{c_{1}\cdots c_{m}}}$

微分形式

令${\displaystyle M}$为一个微分流形。一个微分k-形式${\displaystyle \omega }$是${\displaystyle \land ^{k}T^{*}M}$（${\displaystyle M}$的余切丛的${\displaystyle k}$阶外幂）的一个截面。等价的有：${\displaystyle \omega }$是${\displaystyle M}$的光滑函数，对于${\displaystyle M}$的每个点${\displaystyle x}$给定一个${\displaystyle \land ^{k}\left(T_{x}M\right)^{*}}$的元素。大致来讲，微分形式是余切向量的全局版本。微分形式是微分几何的重要工具，其中，它们被用于定义德拉姆上同调和亚历山大-斯潘尼尔上同调。

推广

给定一个交换环${\displaystyle R}$和一个${\displaystyle R}$-模${\displaystyle M}$，我们可以定义和上文一样的外代数${\displaystyle \land (M)}$，它是张量代数${\displaystyle T(M)}$适当的商。它会满足类似的泛性质。

物理应用

格拉斯曼代数在物理中有重要应用，它们被用于建模和费米子和超对称性相关的各种概念。

参看：超空间，超代数，超群