射影微分几何

在数学领域中，射影微分几何研究的是在射影群变换下保持不变的数学对象（如函数、微分同胚和子流形）的性质。它融合了黎曼几何中探究不变性的思路，以及埃尔朗根纲领中通过群对称性来刻画几何学的理念。

自约1890年起的一代人时间里，许多数学家对该领域进行了深入研究（包括让·加斯东·达布、George Henri Halphen、Ernest Julius Wilczynski、E. Bompiani、圭多·富比尼和爱德华·切赫等），但尚未形成一套关于微分不变量的完整理论。

埃利·嘉当在其活动标架法中提出了一般射影联络（general projective connection）的概念。从抽象角度来看，这是埃尔朗根纲领能与微分几何相协调的普遍性层面；它也发展了射影微分几何最古老的一部分理论——即针对射影直线（projective line）的施瓦茨导数（Schwarzian derivative），这也是最简单的射影微分不变量^[1]。

从1930年代起，J. Kanitani、陈省身、A. P. Norden、G. Bol、S. P. Finikov和G. F. Laptev等人又开展了进一步的工作。然而，即使是关于曲线密切（osculation，一个明显的射影不变量主题）的基本结果，至今也缺乏一个全面的理论。

射影微分几何的理念在数学及其应用中会反复出现，但其表述方式仍然深深植根于20世纪早期的语言体系之中。