导出拓扑

在拓扑学与相关数学领域里，导出拓扑（英语：induced topology，或译诱导拓扑）是指透过拓扑空间与某个集合间的函数，所导出该集合之拓扑。该集合可能是函数的定义域或到达域。

定义

导出拓扑的定义如下：

令 X₀、X₁ 为集合，${\displaystyle f:X_{0}\to X_{1}}$ 为由 X₀ 映射至 X₁ 的函数。

若 ${\displaystyle \tau _{0}}$ 为 X₀ 上的拓扑，则由 ${\displaystyle f}$ 在 X₁ 上导出之拓扑为 ${\displaystyle \{U_{1}\subseteq X_{1}|f^{-1}(U_{1})\in \tau _{0}\}}$。

若 ${\displaystyle \tau _{1}}$ 为 X₁ 上的拓扑，则由 ${\displaystyle f}$ 在 X₀ 上导出之拓扑为 ${\displaystyle \{f^{-1}(U_{1})|U_{1}\in \tau _{1}\}}$。

可以看到，上述两个定义都是使用原像，因为原像会维持集合的交集与并集，但像则不一定可以。举例来说，考虑一具有拓扑 ${\displaystyle \{\{-2,-1\},\{1,2\}\}}$ 之集合 ${\displaystyle X_{0}=\{-2,-1,1,2\}}$、一集合 ${\displaystyle X_{1}=\{-1,0,1\}}$，以及一函数 ${\displaystyle f:X_{0}\to X_{1}}$，使得 ${\displaystyle f(-2)=-1,f(-1)=0,f(1)=0,f(2)=1}$。可知，${\displaystyle \tau _{1}=\{f(U_{0})|U_{0}\in \tau _{0}\}}$ 不会形成一个拓扑，因为 ${\displaystyle \{\{-1,0\},\{0,1\}\}\subseteq \tau _{1}}$，但 ${\displaystyle \{-1,0\}\cap \{0,1\}\notin \tau _{1}}$。

下面为导出拓扑的等价定义：

由 f 在 X₁ 上导出之拓扑 ${\displaystyle \tau _{1}}$ 为使得 f 是连续的最精细拓扑。此一拓扑为 X₁ 上终拓扑之一例。

由 f 在 X₀ 上导出之拓扑 ${\displaystyle \tau _{0}}$ 为使得 f 是连续的最粗糙拓扑。此一拓扑为 X₀ 上初拓扑之一例。

例子

• 商拓扑是个由商映射导出之拓扑。
• 若 f 是个包含映射，则 f 在 X₀ 上会导出子空间拓扑。

参考资料

• Hu, Sze-Tsen. Elements of general topology. Holden-Day. 1969.

另见

• 自然拓扑