希尔伯特变换

在数学和信号处理中，希尔伯特变换（英语：Hilbert transform）是一个对函数 u(t) 产生定义域相同的函数 H(u)(t) 的线性算子。

希尔伯特变换在信号处理中很重要，能够导出信号 u(t) 的解析表示。这就意味着将实信号 u(t) 拓展到复平面，使其满足柯西－黎曼方程。 例如，希尔伯特变换引出了傅里叶分析中给定函数的调和共轭，也就是调和分析。等价地说，它是奇异积分算子与傅里叶乘子（英语：Multiplier (Fourier analysis)）的一个例子。

希尔伯特变换最初只对周期函数（也就是圆上的函数）有定义，在这种情况下它就是与希尔伯特核的卷积。然而更常见的情况下，对于定义在实直线 R（上半平面的边界）上的函数，希尔伯特变换是指与柯西核卷积。希尔伯特变换与帕利-维纳定理（英语：Paley–Wiener theorem）有着密切的联系，帕利-维纳定理是将上半平面内的全纯函数与实直线上的函数的傅里叶变换相联系起来的另一种结果。

希尔伯特变换是以大卫·希尔伯特来命名的，他首先引入了该算子来解决全纯函数的黎曼–希尔伯特问题的一个特殊情况。

希尔伯特变换结果（红色）与原来的信号——方波（蓝色）

定义

${\displaystyle u}$ 的希尔伯特变换可以认为是 ${\displaystyle u(t)}$ 与函数 ${\displaystyle h(t)={\frac {1}{\pi t}}:=\delta (jt)}$ 的卷积。由于 ${\displaystyle h(t)}$ 是不可积的，定义卷积的积分不收敛。因而希尔伯特变换是使用柯西主值（这里记为${\displaystyle p.v.}$）定义的。准确说来，函数（或信号） ${\displaystyle u(t)}$ 的希尔伯特变换是：

${\displaystyle H(u)(t)=\operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }u(\tau )h(t-\tau )\,d\tau ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {p.v.} \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau }$

假设此积分作为主值存在。这就是 u 与缓增分布 p.v. 1/πt 的卷积（由于Schwartz (1950)；参见Pandey (1996，Chapter 3)）。另外，通过改变变量，主值积分可以显式地(Zygmund 1968，§XVI.1)写为：

${\displaystyle H(u)(t)={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau .}$

若希尔伯特变换接连用在函数 u 上两次，结果就是负 u：

${\displaystyle H(H(u))(t)=u(-t)}$

假设定义两次迭代的积分都收敛。特别地，逆变换是 −H。可以通过考虑 u(t) 的傅里叶变换的希尔伯特变换效应看出这一事实（参见下面的与傅里叶变换的关系）。

对上半平面的解析函数，希尔伯特变换描述了边界值的实部与虚部之间的关系。也就是说，如果 f(z) 是在 Im z > 0 平面内的解析函数，而 u(t) = Re f(t + 0·i )，假设希尔伯特变换存在，则 Im f(t + 0·i ) = H(u)(t) 取决于一个相加性常数。

频率响应

希尔伯特变换之频率响应由傅里叶变换给出：

${\displaystyle H(\omega )=(-i\cdot \operatorname {sgn}(\omega ))\cdot {\mathcal {F}}\{h\}(\omega )\,}$  

其中

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$是傅里叶变换，
• i (有时写作j )是虚数单位，
• ${\displaystyle \omega \,}$是角频率，以及
• ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega )={\begin{cases}\ \ 1,&{\mbox{for }}\omega >0,\\\ \ 0,&{\mbox{for }}\omega =0,\\-1,&{\mbox{for }}\omega <0,\end{cases}}}$

即为符号函数。

既然：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )=H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )}$,

希尔伯特变换会将负频率成分${\displaystyle s(t)\,}$偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。

反（逆）希尔伯特变换

我们也注意到：${\displaystyle H^{2}(\omega )=1^{-}\,}$。因此将上面方程式乘上${\displaystyle -H(\omega )\,}$，可得到：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{s\}(\omega )=-H(\omega )\cdot {\mathcal {F}}\{{\widehat {s}}\}(\omega )}$

从中，可以看出反（逆）希尔伯特变换

${\displaystyle s(t)=(h*h*h*{\widehat {s}})(t)={\mathcal {H}}^{3}\{{\widehat {s}}\}(t).\,}$