截尾误差

关于数字的有限有效位数造成的误差，请见“舍入误差”。

数值分析和运算科学里的截尾误差是因为数学过程里的近似而产生的误差^[1][2]，可能是因为无穷级数展开后只取有限项产生的误差，或是其他运算中用有限数值代替无限产生的误差。

例子

无穷级数

${\displaystyle e^{x}}$可以表示为以下的无穷级数 $${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

但实际上，只会计算有限项次的级数，假设只计算前三项，则 $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}}$$

此处的截尾误差是${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

微分

函数的一阶导数定义如下 $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

但若要针对上式进行数值计算，所选择的${\displaystyle h}$是有限的。在微分的数学运算中，选用有限小的${\displaystyle h}$所产生的误差即为截尾误差。

积分

函数${\displaystyle f(x)}$从${\displaystyle a}$到${\displaystyle b}$定积分的结果定义如下：

令${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$是定义在实数${\displaystyle \mathbb {R} }$下，${\displaystyle [a,b]}$闭区间${\displaystyle I}$内的函数，且 $${\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}$$为 ${\displaystyle I}$的区间分割（英语：Partition of an interval），其中 $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$$ 其中${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$且${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$.

这表示利用无限个曲线下的长方形来计算面积，不过在用数值方法计算面积时，只会用有限多个长方形。用有限多个长方形代替无限多个长方形产生的误差即为积分运算的截尾误差。

相关条目

• 量化误差